Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

de-Broglie-Wellenlängen-Rechner

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Masse9,1094e-31 kg
Geschwindigkeit1.000.000 m/s

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/de-broglie-wavelength

Physik

de-Broglie-Wellenlängen-Rechner

Berechnet die de-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens aus seiner Masse und Geschwindigkeit mithilfe von λ = h/(m·v). Masse in Kilogramm und Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde eingeben, um die Materiewellenlänge und den Impuls zu erhalten.

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de-Broglie-Wellenlänge

Der französische Physiker Louis de Broglie schlug 1924 vor, dass Materie – ebenso wie Licht – eine Welle-Teilchen-Dualität besitzt. Jedem bewegten Teilchen mit Impuls pp ist eine Wellenlänge zugeordnet:

λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

wobei h=6,626×10−34 J⋅sh = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J·s} das Planck'sche Wirkungsquantum, mm die Teilchenmasse in Kilogramm und vv die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist. Dieses 1927 durch Elektronenbeugung experimentell bestätigte Ergebnis ist grundlegend für die Quantenmechanik: Es bedeutet, dass Elektronen, Protonen und sogar Atome Interferenz und Beugung zeigen, genau wie Licht.

Dieser Rechner berechnet die de-Broglie-Wellenlänge und den Impuls eines Teilchens aus Masse und Geschwindigkeit.

Formel

SymbolGrößeEinheit
λ\lambdade-Broglie-WellenlängeMeter (m), häufig nm oder pm
hhPlanck'sches Wirkungsquantum6,626×10−34 J⋅s6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J·s}
mmMasse des TeilchensKilogramm (kg)
vvGeschwindigkeit des TeilchensMeter pro Sekunde (m/s)
p=m⋅vp = m \cdot vKlassischer Impulskg·m/s

Da das Planck'sche Wirkungsquantum sehr klein ist, ist λ\lambda für Alltagsobjekte vernachlässigbar gering, wird jedoch für Elektronen und andere subatomare Teilchen vergleichbar mit atomaren Abständen.

Rechenbeispiel

Ein Elektron (Masse me=9,109×10−31 kgm_e = 9{,}109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) bewegt sich mit v=1×106 m/sv = 1 \times 10^6\ \text{m/s} – etwa 0,3 % der Lichtgeschwindigkeit, gut im nicht-relativistischen Bereich.

p=m⋅v=9,109×10−31×106=9,109×10−25 kg\cdotpm/sλ=hp=6,626×10−349,109×10−25≈7,27×10−10 m≈0,727 nm\begin{aligned} p &= m \cdot v = 9{,}109 \times 10^{-31} \times 10^6 = 9{,}109 \times 10^{-25}\ \text{kg·m/s} \\[6pt] \lambda &= \frac{h}{p} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-25}} \approx 7{,}27 \times 10^{-10}\ \text{m} \approx 0{,}727\ \text{nm} \end{aligned}

Diese Wellenlänge liegt in derselben Größenordnung wie atomare Abstände in einem Kristall (~0,1–1 nm), weshalb Elektronenbeugung atomare Strukturen sichtbar machen kann – das Prinzip hinter Elektronenmikroskopie und Niederenergie-Elektronenbeugung (LEED).

Größenordnungen

ObjektMasseGeschwindigkeitde-Broglie-Wellenlänge
Elektron9,1×10−31 kg9{,}1 \times 10^{-31}\ \text{kg}106 m/s10^6\ \text{m/s}≈0,73 nm\approx 0{,}73\ \text{nm}
Proton1,67×10−27 kg1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg}106 m/s10^6\ \text{m/s}≈0,40 pm\approx 0{,}40\ \text{pm}
Heliumatom6,6×10−27 kg6{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg}1000 m/s1000\ \text{m/s}≈0,10 nm\approx 0{,}10\ \text{nm}
Tennisball0,058 kg0{,}058\ \text{kg}50 m/s50\ \text{m/s}≈2,3×10−34 m\approx 2{,}3 \times 10^{-34}\ \text{m}

Die Wellenlänge des Tennisballs ist zwanzig Größenordnungen kleiner als ein Proton – vollständig undetektierbar, weshalb quantenmechanisches Wellenverhalten im Alltag keine Rolle spielt.

Relativistischer Hinweis

Die Formel λ=h/(mv)\lambda = h/(mv) verwendet den klassischen Impuls p=mvp = mv. Für Teilchen, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen (v≳0,1cv \gtrsim 0{,}1c), sollte der relativistische Impuls p=γmvp = \gamma mv verwendet werden, wobei γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} der Lorentz-Faktor ist. Beim Elektron mit 106 m/s10^6\ \text{m/s} gilt v/c≈0,003v/c \approx 0{,}003, sodass die relativistische Korrektur kleiner als 0,001 % ist – vernachlässigbar. Bei v=0,9cv = 0{,}9c gilt jedoch γ≈2,29\gamma \approx 2{,}29, und die Korrektur ist erheblich.

Anwendungen

Die de-Broglie-Wellenlänge ist nicht nur theoretischer Natur. Transmissionselektronenmikroskope (TEM) beschleunigen Elektronen auf Spannungen von Zehn- bis Hunderttausenden Volt und verleihen ihnen sub-Ångström-de-Broglie-Wellenlängen, mit denen einzelne Atome abgebildet werden können. Neutronenbeugung nutzt thermische Neutronen, deren Wellenlängen mit interatomaren Abständen übereinstimmen, um Kristall- und Magnetstrukturen zu untersuchen. Im Quantencomputing ist die Kontrolle der Wellennatur von Teilchen zentral für die Kohärenz von Qubits.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die de-Broglie-Wellenlänge?

Die de-Broglie-Wellenlänge ist die quantenmechanische Wellenlänge, die einem bewegten Teilchen zugeordnet wird. 1924 schlug Louis de Broglie vor, dass Materie – ebenso wie Licht – eine Welle-Teilchen-Dualität besitzt. Jedem Teilchen mit Impuls p ist eine Wellenlänge λ = h/p zugeordnet, wobei h das Planck'sche Wirkungsquantum ist. Diese Idee wurde 1927 durch Elektronenbeugungsexperimente bestätigt und ist ein zentrales Fundament der Quantenmechanik.

Was ist die de-Broglie-Formel?

Die de-Broglie-Wellenlänge beträgt λ = h/(m·v), wobei h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s das Planck'sche Wirkungsquantum, m die Masse des Teilchens in Kilogramm und v seine Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist. Diese Beziehung lässt sich auch als λ = h/p schreiben, mit p = m·v als Impuls. Für ein Elektron (m ≈ 9,11 × 10⁻³¹ kg) bei 1 × 10⁶ m/s ergibt sich eine Wellenlänge von etwa 0,727 nm – in der Größenordnung atomarer Abstände.

Haben Alltagsgegenstände eine de-Broglie-Wellenlänge?

Im Prinzip ja – jedes Objekt mit Impuls hat eine zugeordnete de-Broglie-Wellenlänge. In der Praxis ist die Wellenlänge makroskopischer Objekte verschwindend gering. Ein Tennisball der Masse 58 g bei 50 m/s hat eine de-Broglie-Wellenlänge von etwa 2,3 × 10⁻³⁴ m – viele Größenordnungen kleiner als ein Atomkern (~10⁻¹⁵ m). Kein Detektor könnte eine solche Wellenlänge auflösen, sodass Wellenverhalten für gewöhnliche Objekte vollständig unbeobachtbar ist.

Welche Belege stützen die Existenz von Materiewellen?

Den deutlichsten Beleg liefern Beugungsexperimente. Wenn Elektronen, Neutronen oder Atome auf einen Kristall oder ein Beugungsgitter treffen, erzeugen sie Interferenzmuster – ein Kennzeichen von Wellenverhalten – mit Abständen, die genau der de-Broglie-Vorhersage entsprechen. Elektronenmikroskope nutzen dies: Ihre kurzen de-Broglie-Wellenlängen ermöglichen die Auflösung von Strukturen, die weit kleiner sind als mit sichtbarem Licht möglich wäre.

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