Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

Rechner für gravitative Rotverschiebung

Eingaben

Masse1 M☉
Emissionsradius1 R☉
Ausgesandte Wellenlänge500 nm

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/gravitational-redshift

Physik

Rechner für gravitative Rotverschiebung

Berechnen Sie die gravitative Rotverschiebung von Licht, das einen massereichen Körper verlässt. Geben Sie die Masse, den Emissionsradius und die ausgesandte Wellenlänge ein, um die Rotverschiebung z, die beobachtete Wellenlänge und den Verschiebungsfaktor 1 + z zu erhalten.

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Gravitative Rotverschiebung

Die gravitative Rotverschiebung ist die Verlängerung der Wellenlänge von Licht, während es einem Gravitationsfeld entkommt. Von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie vorhergesagt, ist sie eng mit der gravitativen Zeitdilatation verbunden: Licht, das tief in einem Gravitationstrichter ausgesandt wird, wird von jemandem weit entfernt mit einer niedrigeren Frequenz und damit einer längeren Wellenlänge beobachtet.

Dieser Rechner nimmt die Masse MM eines Körpers, den Radius rr, bei dem das Licht ausgesandt wird, und die ausgesandte Wellenlänge λe\lambda_e und liefert die Rotverschiebung zz, die beobachtete Wellenlänge λo\lambda_o und den Verschiebungsfaktor 1 + z.

Wie die gravitative Rotverschiebung funktioniert

Uhren gehen in stärkerer Gravitation langsamer. Eine am Radius rr ausgesandte Welle schwingt in ihrem lokalen Bezugssystem mit fester Rate, doch ein entfernter Beobachter — dessen eigene Uhr schneller läuft — zählt diese Schwingungen als langsamer ankommend. Eine niedrigere Frequenz bedeutet eine längere Wellenlänge, sodass das Licht zum Roten hin verschoben wird. Es ist keine Relativbewegung beteiligt; die Verschiebung entsteht vollständig aus dem Unterschied im Gravitationspotential zwischen Emission und Beobachtung.

Die Größe der Verschiebung hängt vom Verhältnis des Schwarzschild-Radius 2GM/c22GM/c^2 zum Emissionsradius rr ab.

Formel

GrößeSymbolDefinition
Verschiebungsfaktor1 + z1+z=11−2GM/rc21 + z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
Rotverschiebungzzz=11−2GM/rc2−1z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}} - 1
Beobachtete Wellenlängeλo\lambda_oλo=λe (1+z)\lambda_o = \lambda_e\,(1 + z)
GravitationskonstanteGG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}
Lichtgeschwindigkeitcc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s} (exakt)

Für schwache Felder, bei denen 2GM/rc2≪12GM/rc^2 \ll 1, reduziert sich dies auf z≈GM/rc2z \approx GM/rc^2. Wenn sich rr dem Schwarzschild-Radius annähert, wächst die Rotverschiebung unbegrenzt.

Rechenbeispiel

Sonnenlicht bei λe=500 nm\lambda_e = 500\ \text{nm}, das die Sonnenoberfläche verlässt: M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}, r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}.

Schritt 1 — Schwarzschild-Verhältnis:

2GMrc2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}

Schritt 2 — Rotverschiebung:

z=11−4.24×10−6−1≈2.12×10−6z = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} - 1 \approx 2.12 \times 10^{-6}

Schritt 3 — Beobachtete Wellenlänge:

λo=500 nm×(1+2.12×10−6)≈500.001 nm\lambda_o = 500\ \text{nm} \times (1 + 2.12 \times 10^{-6}) \approx 500.001\ \text{nm}

Die Verschiebung ist winzig — etwa ein Teil in 470 000 — aber real, und sie wurde im Spektrum der Sonne gemessen. Geben Sie diese Werte in den Rechner ein, um das Ergebnis nachzuvollziehen.

Rotverschiebung bei verschiedenen Feldstärken

Objekt2GM/rc22GM/rc^2Rotverschiebung zz
Erdoberfläche1.4×10−91.4 \times 10^{-9}∼7×10−10\sim 7 \times 10^{-10}
Sonnenoberfläche4.2×10−64.2 \times 10^{-6}∼2.1×10−6\sim 2.1 \times 10^{-6}
Oberfläche eines Weißen Zwergs∼10−4\sim 10^{-4}∼5×10−5\sim 5 \times 10^{-5}
Oberfläche eines Neutronensterns∼0.3\sim 0.3∼0.2\sim 0.2

Praktische Bedeutung

Die gravitative Rotverschiebung wurde 1959 erstmals im Labor durch das Pound-Rebka-Experiment bestätigt, das eine Verschiebung von wenigen Teilen in 10¹⁵ über einen 22 Meter hohen Turm maß. Sie wurde seither in den Spektren der Sonne und von Weißen Zwergen wie Sirius B sowie bei Sternen nachgewiesen, die das Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße umkreisen. Dieselbe Physik liegt den Uhrenkorrekturen zugrunde, die GPS genau halten.

Einschränkung: statische, nicht rotierende Masse

Dieser Rechner verwendet die Schwarzschild-Metrik für eine kugelförmige, nicht rotierende, ungeladene Masse und verlangt, dass der Emissionsradius außerhalb des Schwarzschild-Radius 2GM/c22GM/c^2 liegt. Doppler-Verschiebungen durch Relativbewegung und die kosmologische Rotverschiebung durch die Ausdehnung des Universums sind separate Effekte, die hier nicht enthalten sind.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die gravitative Rotverschiebung?

Die gravitative Rotverschiebung ist die Verlängerung der Wellenlänge von Licht, während es aus einem Gravitationsfeld herausklettert. Von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie vorhergesagt, entsteht sie, weil Uhren tiefer in einem Gravitationstrichter langsamer gehen, sodass dort ausgesandtes Licht von einem entfernten Beobachter mit einer niedrigeren Frequenz — und damit einer längeren Wellenlänge — gemessen wird. Die Verschiebung ergibt sich aus 1 + z = 1 / √(1 − 2GM/rc²), wobei M die Masse, r der Emissionsradius, G die Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist.

Wie unterscheidet sie sich von der Doppler-Rotverschiebung?

Eine Doppler-Rotverschiebung entsteht durch die Relativbewegung zwischen Quelle und Beobachter, während eine gravitative Rotverschiebung durch den Unterschied im Gravitationspotential zwischen dem Ort der Emission und dem Ort der Beobachtung entsteht — sie tritt sogar dann auf, wenn sich keiner von beiden bewegt. Die kosmologische Rotverschiebung ferner Galaxien ist ein dritter, verwandter Effekt, der durch die Ausdehnung des Raumes verursacht wird. Alle drei verlängern die Wellenlängen, doch sie haben unterschiedliche physikalische Ursprünge und werden mit verschiedenen Formeln berechnet.

Wie wurde die gravitative Rotverschiebung erstmals gemessen?

Das Pound-Rebka-Experiment von 1959 war die erste Laborbestätigung. Gammastrahlen wurden einen 22,5 Meter hohen Turm in Harvard hinaufgeschickt, und die durch die Erdgravitation verursachte winzige Frequenzverschiebung — nur wenige Teile in 10¹⁵ — wurde mithilfe des Mössbauer-Effekts nachgewiesen. Das Ergebnis stimmte mit der allgemeinen Relativitätstheorie auf etwa 10 % überein und wurde später auf besser als 1 % verfeinert. Moderne Experimente mit optischen Uhren messen die Verschiebung heute über Höhenunterschiede von weniger als einem Meter.

Wie lautet die Formel für die gravitative Rotverschiebung?

Mit der Schwarzschild-Metrik für eine nicht rotierende kugelförmige Masse gilt 1 + z = 1 / √(1 − 2GM/rc²), und die beobachtete Wellenlänge ist λ_o = λ_e (1 + z). Die Größe 2GM/c² ist der Schwarzschild-Radius. Für schwache Felder, bei denen 2GM/rc² klein ist, reduziert sich dies auf die vertraute Näherung z ≈ GM/rc². Wenn sich der Emissionsradius dem Schwarzschild-Radius annähert, wächst die Rotverschiebung unbegrenzt, weshalb dieser Rechner verlangt, dass der Radius außerhalb davon liegt.

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