Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

Rechner für gravitative Zeitdilatation

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Masse1 M☉
Radius1 R☉
Eigenzeit1 J

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/gravitational-time-dilation

Physik

Rechner für gravitative Zeitdilatation

Berechnen Sie die gravitative Zeitdilatation aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Geben Sie die Masse eines Körpers, einen Abstand von seinem Zentrum und ein Eigenzeitintervall ein, um den Dilatationsfaktor und die von einem entfernten Beobachter gemessene Zeit zu erhalten.

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Gravitative Zeitdilatation

Die gravitative Zeitdilatation ist eine Folge von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie: Uhren ticken in stärkeren Gravitationsfeldern langsamer. Eine Uhr tief in einem Gravitationstrichter geht einer identischen Uhr weit entfernt nach. Der Effekt ist auf der Erde winzig, wird aber in der Nähe sehr dichter Objekte wie Neutronensternen und Schwarzen Löchern dramatisch.

Dieser Rechner nimmt die Masse MM eines Körpers, einen Abstand rr von seinem Zentrum und ein an diesem Radius gemessenes Eigenzeitintervall t0t_0 und liefert den Dilatationsfaktor sowie die Zeit tt, die ein entfernter Beobachter aufzeichnet, während t0t_0 nahe der Masse verstreicht.

Wie die gravitative Zeitdilatation funktioniert

In der allgemeinen Relativitätstheorie krümmt Masse die Raumzeit, und diese Krümmung verlangsamt den Lauf der Zeit. Je näher eine Uhr an einem massereichen Körper sitzt, desto stärker bleibt ihre Rate hinter Uhren zurück, die fern jeder Gravitation sind. Da die Uhr des entfernten Beobachters vergleichsweise schnell läuft, zeichnet er ein längeres Intervall auf als die Uhr im tiefen Gravitationsfeld — die Uhr nahe der Masse scheint langsam zu gehen.

Der Effekt wird durch das Verhältnis des Schwarzschild-Radius 2GM/c22GM/c^2 zum tatsächlichen Radius rr bestimmt. Wenn rr weit größer als der Schwarzschild-Radius ist, ist die Korrektur vernachlässigbar; wenn rr gegen ihn schrumpft, divergiert die Dilatation.

Formel

GrößeSymbolDefinition
Dilatationsfaktorγg\gamma_gγg=11−2GM/rc2\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
Eigenzeitt0t_0Von der Uhr am Radius rr gemessene Zeit
Entfernte Zeitttt=t01−2GM/rc2t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
GravitationskonstanteGG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}
Lichtgeschwindigkeitcc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s} (exakt)

Der Faktor ist stets größer als eins. Für r→∞r \to \infty nähert er sich eins und die Dilatation verschwindet; wenn sich rr dem Schwarzschild-Radius 2GM/c22GM/c^2 annähert, wächst er unbegrenzt.

Rechenbeispiel

Betrachten Sie eine Uhr an der Oberfläche der Sonne: M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg} und r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}.

Schritt 1 — Schwarzschild-Verhältnis:

2GMrc2=2(6.674×10−11)(1.989×1030)(6.9634×108)(2.998×108)2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}

Schritt 2 — Dilatationsfaktor:

γg=11−4.24×10−6≈1.0000021\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021

Eine Uhr an der Sonnenoberfläche geht im Vergleich zu einer entfernten Uhr um etwa zwei Teile in einer Million langsamer. Über ein Jahr zeichnet der entfernte Beobachter rund 67 zusätzliche Sekunden auf. Geben Sie diese Werte in den Rechner ein, um das Ergebnis nachzuvollziehen.

Dilatation bei verschiedenen Feldstärken

Objekt2GM/rc22GM/rc^2Dilatationsfaktor
Erdoberfläche1.4×10−91.4 \times 10^{-9}1,0000000007
Sonnenoberfläche4.2×10−64.2 \times 10^{-6}1,0000021
Oberfläche eines Weißen Zwergs∼10−4\sim 10^{-4}∼1.00005\sim 1.00005
Oberfläche eines Neutronensterns∼0.3\sim 0.3∼1.2\sim 1.2

Praktische Bedeutung

Die gravitative Zeitdilatation ist nicht nur theoretisch. GPS-Satelliten, die dort kreisen, wo die Gravitation schwächer ist, gewinnen relativ zu Bodenuhren etwa 45 Mikrosekunden pro Tag; dies muss korrigiert werden, sonst würden Positionen jeden Tag um Kilometer abdriften. Das Pound-Rebka-Experiment maß die Verschiebung über einen 22 Meter hohen Turm, und Atomuhren erfassen den Unterschied heute über Höhenänderungen von einem Bruchteil eines Meters.

Einschränkung: statische, nicht rotierende Masse

Dieser Rechner verwendet die Schwarzschild-Metrik, die eine kugelförmige, nicht rotierende, ungeladene Masse beschreibt. Er verlangt, dass der Radius außerhalb des Schwarzschild-Radius 2GM/c22GM/c^2 liegt. Rotation (die Kerr-Metrik), Ladung und die geschwindigkeitsbedingte Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie sind separate Effekte, die hier nicht enthalten sind.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die gravitative Zeitdilatation?

Die gravitative Zeitdilatation ist eine Vorhersage von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie: Uhren gehen in stärkeren Gravitationsfeldern langsamer. Eine Uhr nahe einem massereichen Körper tickt langsamer als eine identische Uhr weit entfernt. Der Effekt ergibt sich aus t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²), wobei M die Masse, r der Abstand von ihrem Zentrum, G die Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Er unterscheidet sich von der geschwindigkeitsbedingten Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie, die von der Relativbewegung statt von der Gravitation abhängt.

Wie lautet die Formel für die gravitative Zeitdilatation?

Für eine nicht rotierende kugelförmige Masse liefert die Schwarzschild-Lösung t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²). Die Größe 2GM/c² ist der Schwarzschild-Radius. Wenn r viel größer als dieser Radius ist, liegt die Quadratwurzel nahe bei eins und die Dilatation ist winzig; wenn sich r dem Schwarzschild-Radius annähert, geht der Nenner gegen null und die Dilatation wächst unbegrenzt. Der Faktor ist stets größer als eins, sodass der entfernte Beobachter immer mehr verstrichene Zeit aufzeichnet als die Uhr tief im Gravitationstrichter.

Warum korrigieren GPS-Satelliten die Zeitdilatation?

GPS-Satelliten umkreisen die Erde in etwa 20 000 km Höhe, wo die Gravitation schwächer ist, sodass ihre Uhren aufgrund der gravitativen Zeitdilatation um etwa 45 Mikrosekunden pro Tag schneller gehen als Uhren am Boden. Die speziell-relativistische Dilatation durch ihre Bahngeschwindigkeit verlangsamt sie um etwa 7 Mikrosekunden pro Tag, was einen Nettogewinn von rund 38 Mikrosekunden pro Tag ergibt. Ohne Korrektur beider Effekte würden sich Positionsfehler von mehreren Kilometern pro Tag ansammeln, weshalb die Satellitenuhren bewusst versetzt werden.

Was passiert mit der Zeit in der Nähe eines Schwarzen Lochs?

Wenn sich ein Objekt dem Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs nähert — der Fläche am Schwarzschild-Radius — wird die gravitative Zeitdilatation extrem. Ein entfernter Beobachter sieht das fallende Objekt langsamer werden und sein Licht rotverschoben, sodass es am Horizont einzufrieren scheint und ihn nie ganz überquert, während das Objekt selbst ihn in endlicher Eigenzeit überquert. Genau am Horizont divergiert der Dilatationsfaktor, weshalb dieser Rechner verlangt, dass der Radius außerhalb des Schwarzschild-Radius liegt.

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