Zuletzt aktualisiert: 2026-06-15

Umlaufzeit

Die Umlaufzeit gibt an, wie lange ein Körper braucht, um einen vollständigen Umlauf um einen anderen zu vollenden – ein Jahr für die Erde um die Sonne, 27,3 Tage für den Mond um die Erde, 24 Stunden für einen geostationären Satelliten. Kepler erkannte, dass die Umlaufzeit nur von der Größe der Bahn und der Masse im Zentrum abhängt, nicht vom umlaufenden Körper selbst. Dieser Rechner verwendet sein drittes Gesetz, um aus großer Halbachse und Zentralmasse die Umlaufzeit zu berechnen, und gibt zusätzlich die Bahngeschwindigkeit aus.

Herleitung der Formel

Auf einer Kreisbahn liefert die Gravitation genau die Zentripetalkraft, die zum Umlauf benötigt wird: $\dfrac{GMm}{a^2} = \dfrac{mv^2}{a}$. Die Masse des umlaufenden Körpers $m$ kürzt sich heraus, sodass $v = \sqrt{GM/a}$ übrig bleibt. Da ein Umlauf des Umfangs $2\pi a$ die Zeit $T = 2\pi a / v$ beansprucht, ergibt das Einsetzen der Geschwindigkeit das dritte Keplersche Gesetz $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$. Für elliptische Bahnen gilt dasselbe, wenn $a$ die große Halbachse ist.

Formel

Das Quadrieren der Periode liefert die bekannte Proportionalität $T^2 \propto a^3$: Das Quadrat der Umlaufzeit wächst mit der dritten Potenz des Abstands.

Rechenbeispiel

Für die Erde um die Sonne gilt $a = 1{,}496\times10^{11}\ \text{m}$ und $M = 1{,}989\times10^{30}\ \text{kg}$:

Die Bahngeschwindigkeit beträgt in diesem Abstand $v = \sqrt{GM/a} \approx 29\,800\ \text{m/s}$, also etwa 29,8 km/s.

Wie der Abstand die Umlaufzeit dehnt

Da $T \propto a^{3/2}$ gilt, wächst die Umlaufzeit schneller als der Abstand, aber langsamer als das Abstandsquadrat. Eine viermal breitere Bahn dauert achtmal so lang. Diese eine Gesetzmäßigkeit erklärt das gesamte Sonnensystem: Merkur umkreist die Sonne in 88 Tagen, die Erde in einem Jahr, Jupiter in knapp 12 Jahren und Neptun in 165 Jahren. Hebt man einen Satelliten auf eine höhere Bahn, verlängert sich seine Umlaufzeit; der geostationäre Gürtel ist genau die Höhe, bei der die Periode mit der 24-Stunden-Rotation der Erde übereinstimmt.

Einschränkungen

Die Formel setzt einen kleinen Körper voraus, der einen einzelnen, deutlich schwereren Körper umkreist – eine „Zweikörper"-Näherung. Sie vernachlässigt den eigenen Gravitationseinfluss des umlaufenden Körpers (vernachlässigbar für einen Satelliten, nicht für zwei ähnlich schwere Sterne), die Anziehung weiterer Körper, Luftwiderstand in niedrigen Orbits und relativistische Effekte in der Nähe sehr massereicher Objekte. Bei elliptischen Bahnen liefert die Formel die korrekte Umlaufzeit aus der großen Halbachse; die angezeigte Geschwindigkeit ist jedoch der Kreisbahnwert und entspricht nur dem Mittelwert einer Ellipse.