Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

Teilchen-im-Kasten-Rechner

Eingaben

Quantenzahl1
Teilchenmasse9,1094e-31 kg
Kastenlänge1 nm

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/particle-in-a-box

Physik

Teilchen-im-Kasten-Rechner

Berechnen Sie die quantisierten Energieniveaus eines Teilchens in einem eindimensionalen unendlichen Potentialtopf. Geben Sie die Quantenzahl, die Teilchenmasse und die Kastenlänge ein, um die Energie Eₙ und die De-Broglie-Wellenlänge der stehenden Welle zu erhalten.

Eingaben

≥ 1

Ergebnisse

Geben Sie einen Wert ein, um die Ergebnisse zu sehen.

Details

Diesen Rechner einbetten

Vorschau

Fügen Sie diesen Code in Ihre Seite ein, um den Rechner anzuzeigen.

Diese Berechnung teilen

Wer diesen Link öffnet, sieht Ihre Werte bereits ausgefüllt.

Teilchen im Kasten

Das Teilchen im Kasten, auch unendlicher Potentialtopf genannt, ist eines der ersten exakt lösbaren Probleme der Quantenmechanik. Ein einzelnes Teilchen ist in einem eindimensionalen Bereich der Länge LL durch so hohe Wände gefangen, dass es niemals entkommen kann. Das Lösen der Schrödinger-Gleichung unter dieser Einschränkung offenbart, dass die Energie des Teilchens nicht beliebige Werte annehmen kann — sie ist auf eine diskrete Niveauleiter beschränkt.

Dieser Rechner nimmt die Quantenzahl nn, die Teilchenmasse mm und die Kastenlänge LL und liefert die Energie EnE_n dieses Niveaus zusammen mit der De-Broglie-Wellenlänge λn\lambda_n der zugehörigen stehenden Welle.

Wie das Modell funktioniert

Da das Teilchen niemals außerhalb des Kastens angetroffen werden kann, muss seine Wellenfunktion an beiden Wänden auf null abfallen. Diese Randbedingung ist identisch mit der für eine an beiden Enden eingespannte Saite: Nur stehende Wellen, die eine ganze Zahl halber Wellenlängen in die Länge LL einpassen, überleben. Jede erlaubte stehende Welle trägt einen bestimmten Impuls und damit eine bestimmte Energie. Jede andere Wellenlänge ist verboten, weshalb die Energie genau quantisiert herauskommt.

Das niedrigste Niveau, n = 1, ist der Grundzustand. Es hat eine von null verschiedene Energie — das Teilchen kann niemals völlig ruhen — was die einfachste Veranschaulichung der Nullpunktsenergie ist.

Formel

GrößeSymbolDefinition
EnergieniveauEnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}
Quantenzahlnnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots
De-Broglie-Wellenlängeλn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}
Plancksches Wirkungsquantumhh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s} (exakt)

Da EnE_n mit n2n^2 skaliert, spreizen sich die Niveaus mit wachsendem nn auseinander: E2=4E1E_2 = 4E_1, E3=9E1E_3 = 9E_1 und so weiter. Den Kasten zu verschmälern oder die Masse zu verringern drückt jedes Niveau höher.

Rechenbeispiel

Ein Elektron (m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) ist in einem Kasten der Länge L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} in seinem Grundzustand n = 1 eingeschlossen.

Schritt 1 — Energie:

E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}

Schritt 2 — Wellenlänge:

λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}

Die einzelne halbe Wellenlänge erstreckt sich über die volle Breite des Kastens, mit Knoten an jeder Wand. Das Eingeben dieser Werte in den Rechner gibt das Ergebnis wieder.

Energieniveaus auf einen Blick

Quantenzahl nnEnergie relativ zum GrundzustandHalbe Wellenlängen im Kasten
1E1E_11
24E14E_12
39E19E_13
416E116E_14

Praktische Bedeutung

Obwohl idealisiert, liefert das Teilchen im Kasten überraschend gute Abschätzungen, wann immer ein Elektron auf einen kleinen Bereich beschränkt ist. Es sagt die Farbtrends von Farbstoffen aus konjugierten Molekülen, die abstimmbare Absorption von Quantenpunkten und Nanokristallen sowie die Energieabstände von Elektronen in schmalen Halbleitertöpfen voraus. Als Lehrmittel führt es Quantisierung, Nullpunktsenergie und die zentrale Rolle von Randbedingungen ein.

Einschränkung: idealisierte Wände

Das Modell setzt unendlich hohe Wände und einen perfekt eindimensionalen Bereich voraus, sodass das Teilchen streng eingeschlossen ist und niemals heraustunnelt. Reale Potentialtöpfe haben eine endliche Tiefe, was ein gewisses Auslecken der Wellenfunktion erlaubt und die Energien leicht absenkt. Für erste Abschätzungen und zum Verständnis der Physik des Einschlusses bleibt der unendliche Potentialtopf der übliche Ausgangspunkt.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Teilchen-im-Kasten-Modell?

Das Teilchen im Kasten (oder der unendliche Potentialtopf) ist ein grundlegendes Modell der Quantenmechanik. Ein Teilchen ist in einem eindimensionalen Bereich der Länge L mit so hohen Wänden eingeschlossen, dass es niemals entkommen kann. Das Lösen der Schrödinger-Gleichung für diese Situation zeigt, dass das Teilchen nicht beliebige Energien haben kann: Nur eine diskrete Werteleiter Eₙ = n²h² / (8mL²) ist erlaubt, wobei n eine positive ganze Zahl, h das Plancksche Wirkungsquantum und m die Masse ist. Das Modell ist einfach genug, um exakt gelöst zu werden, erfasst aber dennoch das wesentliche Quantenmerkmal, dass Einschluss zu quantisierter Energie führt.

Wie lautet die Formel für die Energieniveaus?

Die erlaubten Energien sind Eₙ = n²h² / (8mL²), wobei n = 1, 2, 3, … die Quantenzahl, h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s das Plancksche Wirkungsquantum, m die Teilchenmasse und L die Breite des Kastens ist. Da die Energie mit n² skaliert, wachsen die Niveaus mit zunehmendem n auseinander: E₂ = 4E₁, E₃ = 9E₁ und so weiter. Die zugehörige stehende Welle hat eine De-Broglie-Wellenlänge λ = 2L / n und fasst genau n halbe Wellenlängen zwischen die Wände.

Warum ist die Energie quantisiert?

Die Wellenfunktion muss an beiden Wänden des Kastens verschwinden, weil das Teilchen niemals außerhalb davon angetroffen werden kann. Diese Randbedingung ist dieselbe wie die für eine an beiden Enden eingespannte schwingende Saite: Nur stehende Wellen, die eine ganze Zahl halber Wellenlängen in die Länge L einpassen, sind erlaubt. Jede erlaubte Welle entspricht einem bestimmten Impuls und damit einer bestimmten Energie. Das Verbieten aller dazwischenliegenden Wellenlängen ist es, was die Energie auf eine diskrete Leiter statt auf einen kontinuierlichen Bereich zwingt.

Wo wird dieses Modell verwendet?

Trotz seiner Einfachheit liefert das Teilchen im Kasten nützliche Abschätzungen für reale Systeme, in denen ein Elektron auf einen kleinen Bereich beschränkt ist. Es modelliert die Farbe von Farbstoffen aus konjugierten Molekülen, die Absorption von Quantenpunkten und Nanokristallen sowie das Verhalten von Elektronen in schmalen Halbleitertöpfen. Es ist außerdem das übliche erste Beispiel, um Quantisierung, Nullpunktsenergie und die Rolle von Randbedingungen in der Quantenmechanik zu lehren.

Weitere Empfehlungen

de-Broglie-Wellenlängen-Rechner

Berechnet die de-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens aus seiner Masse und Geschwindigkeit mithilfe von λ = h/(m·v). Masse in Kilogramm und Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde eingeben, um die Materiewellenlänge und den Impuls zu erhalten.

 Mehr erfahren
Rechner für die Heisenbergsche Unschärferelation

Berechnen Sie die minimale Impuls- und Geschwindigkeitsunschärfe aus der Heisenbergschen Unschärferelation. Geben Sie eine Ortsunschärfe Δx und eine Teilchenmasse ein, um Δp und Δv aus Δx·Δp ≥ ħ/2 zu erhalten.

 Mehr erfahren
Bohrsches-Atommodell-Rechner

Berechnen Sie die Energie, den Bahnradius und die Elektronengeschwindigkeit für ein wasserstoffähnliches Atom mit dem Bohrschen Atommodell. Geben Sie die Hauptquantenzahl n und die Ordnungszahl Z ein, um E_n, r_n und v_n zu erhalten.

 Mehr erfahren

200+ Rechner · 10 Sprachen · 100 % kostenlos

War dieser Rechner hilfreich?

Nein

Wie können wir diesen Rechner verbessern?
Bereitgestellt von OneCalc ↗