Fadenpendel-Rechner
Eingaben
| Gesucht | Aus Länge |
|---|---|
| Länge | 1 m |
| Periodendauer | 2 s |
| Schwerebeschleunigung | 9,8067 m/s² |
Fadenpendel-Rechner
Berechnen Sie Periodendauer und Frequenz eines Fadenpendels mit T = 2π√(L/g), oder rechnen Sie rückwärts von einer gemessenen Periodendauer auf die Länge. Geben Sie Länge (oder Periodendauer) und Schwerebeschleunigung ein, um die Schwingungsdauer zu erhalten.
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Konstanten
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Details
Fadenpendel-Rechner
Ein Fadenpendel ist eine Masse, die unter dem Einfluss der Schwerkraft an einem leichten Faden oder Stab schwingt. Bei Schwingungen durch einen kleinen Winkel hängt die Zeit für einen vollständigen Hin-und-her-Zyklus — die Periodendauer — nur von der Länge des Pendels und der Stärke der Schwerkraft ab: . Galilei bemerkte als Erster, dass die Periodendauer nahezu unabhängig davon ist, wie weit das Pendel ausschwingt — eine Beobachtung, die das Pendel drei Jahrhunderte lang zum Herzstück präziser Uhren machte.
Dieser Rechner bestimmt Periodendauer und Frequenz aus Länge und Schwerebeschleunigung oder rechnet im anderen Modus von einer gemessenen Periodendauer rückwärts auf die Länge, die sie erzeugen würde.
Warum es auf die Länge ankommt
Die Periodendauer wächst mit der Quadratwurzel der Länge. Eine Vervierfachung der Länge verdoppelt die Periodendauer nur, sodass ein Pendel überraschend lang sein muss, um langsam zu schwingen. Ein etwa ein Meter langes Pendel braucht auf der Erde rund zwei Sekunden pro voller Schwingung — die Grundlage des alten „Sekundenpendels" aus Standuhren. Weder die Masse der Pendelmasse noch die Größe der Schwingung (innerhalb der Kleinwinkelgrenze) ändern die Periodendauer, was ein Pendel zu einem so zuverlässigen Zeitmesser macht.
Formel
| Größe | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Periodendauer | Zeit für eine volle Schwingung, | |
| Länge | Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt der Pendelmasse | |
| Schwerebeschleunigung | Örtliche Fallbeschleunigung | |
| Frequenz | Schwingungen pro Sekunde, |
Da die Schwerebeschleunigung in der Formel auftaucht, läuft dasselbe Pendel anderswo mit anderer Geschwindigkeit: Auf dem Mond, wo g etwa 1,62 m/s² beträgt, schwingt ein Ein-Meter-Pendel weit langsamer, mit einer Periodendauer nahe 4,9 Sekunden.
Rechenbeispiel
Ein Pendel ist 1 Meter lang und befindet sich auf der Erde, wo m/s² ist. Seine Periodendauer ist:
T=2πL/g=2π1/9.80665=2π×0.3193=2.006 sDie Frequenz ist Hz, knapp unter einer Schwingung pro Sekunde je Richtung. Die Eingabe einer Länge von 1 m reproduziert dies. Um den umgekehrten Weg zu gehen — etwa, wenn Sie ein Pendel auf genau 2 Sekunden gemessen haben und seine Länge suchen — wechseln Sie zu „Aus Periodendauer", und der Rechner liefert m.
Die Kleinwinkelnäherung
Die saubere Formel ist eine Näherung, die gilt, wenn die Schwingungsamplitude klein ist, unterhalb von rund 15°. In diesem Bereich ist die rücktreibende Kraft sehr nahezu proportional zur Auslenkung, was die Bedingung für eine harmonische Schwingung ist. Bei weiteren Schwingungen verlängert sich die Periodendauer leicht — um etwa 1 % bei 20° — weil die wahre rücktreibende Kraft langsamer als die Auslenkung wächst. Exakte Ergebnisse für große Amplituden erfordern ein elliptisches Integral, doch für Uhren, Metronome und die meisten Laborpendel ist die Kleinwinkelformel mehr als genau genug.
Grenzen des Modells
Dieses Modell behandelt den Faden als masselos und die Pendelmasse als Punkt, vernachlässigt Luftwiderstand und Reibung am Drehpunkt und setzt ein konstantes Schwerefeld voraus. Ein reales Pendel mit einem schweren Stab oder einer ausgedehnten Masse ist ein physikalisches Pendel, dessen Periodendauer von seinem Trägheitsmoment und dem Abstand zu seinem Schwerpunkt abhängt statt von einer einzigen Länge.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie lautet die Formel für die Periodendauer eines Pendels?
Für ein Fadenpendel, das durch einen kleinen Winkel schwingt, beträgt die Periodendauer — die Zeit für eine vollständige Hin-und-her-Schwingung — T = 2π√(L/g), wobei L die Länge vom Drehpunkt zum Schwerpunkt der Pendelmasse und g die örtliche Fallbeschleunigung ist. Die Frequenz, die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, ist der Kehrwert: f = 1/T.
Wie beeinflusst die Länge die Periodendauer?
Die Periodendauer wächst mit der Quadratwurzel der Länge, sodass Sie das Pendel viermal so lang machen müssen, um die Periodendauer zu verdoppeln. Ein 1 Meter langes Pendel hat auf der Erde eine Periodendauer von etwa 2,0 Sekunden, weshalb ein „Sekundenpendel" — eines, das pro Schwingungsrichtung einmal pro Sekunde tickt — knapp unter einem Meter lang ist. Stellen Sie diesen Rechner auf „Aus Periodendauer", um die genaue Länge für eine beliebige Zielperiodendauer zu finden.
Warum taucht der Winkel nicht in der Formel auf?
Die Formel T = 2π√(L/g) ist die Kleinwinkelnäherung: Sie gilt, wenn die Schwingungsamplitude klein ist (unter etwa 15°), wo die rücktreibende Kraft sehr nahezu proportional zur Auslenkung ist. Bei größeren Schwingungen nimmt die Periodendauer leicht zu — um rund 1 % bei 20° und mehr bei weiten Winkeln — und die exakte Periodendauer erfordert ein elliptisches Integral statt dieses einfachen Ausdrucks.
Spielt die Masse der Pendelmasse eine Rolle?
Nein. Die Periodendauer eines Fadenpendels hängt nur von seiner Länge und der örtlichen Schwerebeschleunigung ab, nicht von der Masse der Pendelmasse. Ein schweres und ein leichtes Pendel gleicher Länge schwingen im Gleichtakt, weil die Schwerkraft alle Massen gleich beschleunigt — derselbe Grund, aus dem Körper verschiedener Masse gemeinsam fallen. Die Masse würde nur dann eine Rolle spielen, wenn Luftwiderstand oder Reibung wesentlich wären.