Dünne-Linsen-Rechner
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| Brennweite | 10 cm |
|---|---|
| Gegenstandsweite | 30 cm |
Dünne-Linsen-Rechner
Bestimmen Sie Bildweite und Abbildungsmaßstab einer dünnen Linse mit der Linsengleichung 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ. Geben Sie Brennweite und Gegenstandsweite ein, um das Bild zu lokalisieren und zu sehen, ob es reell oder virtuell, aufrecht oder umgekehrt ist.
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Dünne-Linsen-Rechner
Eine dünne Linse erzeugt ein Bild, indem sie Lichtstrahlen so bricht, dass sie in einem einzigen Punkt zusammenlaufen — oder von ihm auszugehen scheinen. Die Linsengleichung verknüpft die drei Abstände, die diesen Vorgang beschreiben: die Brennweite der Linse und die Abstände von der Linse zum Gegenstand und zu seinem Bild. . „Dünn" bedeutet, dass die Linse als dickenlos behandelt wird, eine ausgezeichnete Näherung für gewöhnliche Brillengläser, Kameraobjektive und Lupen.
Dieser Rechner nimmt Brennweite und Gegenstandsweite und liefert, wo das Bild entsteht, wie groß es ist und ob es reell oder virtuell ist.
Reelle und virtuelle Bilder
Das Vorzeichen der Bildweite verrät, welche Art von Bild Sie erhalten. Eine positive Bildweite bedeutet ein reelles Bild: Die Strahlen treffen sich tatsächlich auf der gegenüberliegenden Seite der Linse, sodass das Bild auf einem Schirm aufgefangen werden kann — so funktionieren ein Projektor oder eine Kamera. Eine negative Bildweite bedeutet ein virtuelles Bild: Die Strahlen scheinen nur von einem Punkt auf derselben Seite wie der Gegenstand auszugehen, sodass es nicht projiziert, aber durch die Linse betrachtet werden kann, wie bei einer Lupe.
Formel
| Größe | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Brennweite | Brennweite der Linse; positiv für sammelnd, negativ für zerstreuend | |
| Gegenstandsweite | Abstand vom Gegenstand zur Linse (stets positiv) | |
| Bildweite | Abstand von der Linse zum Bild, | |
| Abbildungsmaßstab | Höhenverhältnis, |
Der Abbildungsmaßstab vereint Größe und Orientierung in einer Zahl. Sein Betrag gibt an, wie viele Male größer oder kleiner das Bild gegenüber dem Gegenstand ist; sein Vorzeichen verrät die Orientierung, wobei ein negativer Wert bedeutet, dass das Bild auf den Kopf gestellt ist.
Rechenbeispiel
Eine Sammellinse hat eine Brennweite von 10 cm. Ein Gegenstand wird 30 cm vor ihr platziert. Die Bildweite ist:
di=do−ff⋅do=30−1010×30=20300=15 cmDer Abbildungsmaßstab ist . Die positive Bildweite bedeutet ein reelles Bild 15 cm hinter der Linse, und der negative Abbildungsmaßstab von 0,5 bedeutet, dass es umgekehrt und halb so groß wie der Gegenstand ist — genau das, was eine Kamera tut, wenn sie eine entfernte Szene auf ihren Sensor scharfstellt.
Sammel- und Zerstreuungslinsen
Eine sammelnde (konvexe) Linse hat eine positive Brennweite und kann je nach Lage des Gegenstands relativ zum Brennpunkt entweder reelle oder virtuelle Bilder erzeugen. Eine zerstreuende (konkave) Linse hat eine negative Brennweite und erzeugt stets ein verkleinertes, aufrechtes, virtuelles Bild, ganz gleich, wo der Gegenstand steht. Um eine Zerstreuungslinse zu modellieren, geben Sie eine negative Brennweite ein. Liegt der Gegenstand genau im Brennpunkt, verlassen die austretenden Strahlen die Linse parallel und das Bild entsteht im Unendlichen — der Rechner kennzeichnet diesen Sonderfall.
Grenzen des Modells
Die Linsengleichung vernachlässigt die Dicke der Linse und setzt paraxiale Strahlen voraus — solche, die nahe der Mittelachse bleiben und kleine Winkel mit ihr bilden. Reale Linsen leiden unter Abbildungsfehlern: Die sphärische Aberration verschmiert achsferne Strahlen, und die chromatische Aberration streut Farben, weil die Brennweite leicht von der Wellenlänge abhängt. Für präzises optisches Design müssen diese Effekte gesondert modelliert werden, doch für Abschätzungen im Alltag ist die Linsengleichung bemerkenswert genau.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist die Linsengleichung für dünne Linsen?
Die Linsengleichung verknüpft die Brennweite f einer Linse mit der Gegenstandsweite dₒ und der Bildweite dᵢ: 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ. Nach der Bildweite aufgelöst ergibt sich dᵢ = f·dₒ / (dₒ − f). Sie setzt voraus, dass die Linse dünn genug ist, um ihre Dicke vernachlässigen zu können, und dass die Lichtstrahlen nahe der Mittelachse bleiben.
Welche Vorzeichenkonvention wird hier verwendet?
Dieser Rechner verwendet die übliche Konvention für eine einzelne dünne Linse: Die Gegenstandsweite dₒ ist positiv, eine Sammellinse hat eine positive Brennweite und eine Zerstreuungslinse eine negative. Eine positive Bildweite bedeutet ein reelles Bild auf der gegenüberliegenden Seite der Linse; eine negative Bildweite bedeutet ein virtuelles Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand. Ein negativer Abbildungsmaßstab kennzeichnet ein umgekehrtes Bild.
Was sagt mir der Abbildungsmaßstab?
Der Abbildungsmaßstab m = −dᵢ/dₒ ist das Verhältnis der Bildhöhe zur Gegenstandshöhe. Ist |m| größer als 1, ist das Bild größer als der Gegenstand; ist es kleiner als 1, ist das Bild kleiner. Das Vorzeichen trägt die Orientierung: Ein negatives m bedeutet, dass das Bild umgekehrt (auf dem Kopf) steht, während ein positives m bedeutet, dass es aufrecht ist.
Was ist der Unterschied zwischen einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse?
Eine sammelnde (konvexe) Linse ist in der Mitte dicker und bündelt parallele Strahlen in einem Brennpunkt, daher hat sie eine positive Brennweite und kann reelle Bilder erzeugen. Eine zerstreuende (konkave) Linse ist in der Mitte dünner und fächert parallele Strahlen auf; sie hat eine negative Brennweite und erzeugt stets ein verkleinertes, aufrechtes, virtuelles Bild. Geben Sie eine negative Brennweite ein, um eine Zerstreuungslinse zu modellieren.
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