Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

Elastizitätsmodul-Rechner

Eingaben

Aufgebrachte Kraft10.000 N
Querschnittsfläche1 cm²
Ausgangslänge2 m
Verlängerung1 mm

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/youngs-modulus

Physik

Elastizitätsmodul-Rechner

Berechne den Elastizitätsmodul (Youngsches Modul), die Spannung und die Dehnung aus einem Zugversuch. Gib Kraft, Querschnittsfläche, Ausgangslänge und Verlängerung ein, um den elastischen Modul E = σ/ε zu erhalten – zusammen mit Spannung und Dehnung.

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Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul (auch Youngsches Modul) ist eine einzelne Kennzahl, die beschreibt, wie steif ein Werkstoff ist – wie stark man ziehen muss, um ihn um einen bestimmten Bruchteil zu verlängern. Stahl widersteht dem Dehnen etwa dreimal stärker als Aluminium und tausendmal stärker als Gummi; genau diesen Unterschied erfasst der Modul. Dieser Rechner ermittelt ihn aus einem einfachen Zugversuch: Eine Kraft wird auf eine Probe mit bekanntem Querschnitt und bekannter Länge ausgeübt, die sich dabei um einen gemessenen Betrag verlängert.

Herleitung der Formel

Das Ziehen an einem Stab erzeugt zwei Größen. Die Spannung ist die Kraft, verteilt über den Querschnitt, σ=F/A\sigma = F/A, gemessen in Pascal. Die Dehnung ist die relative Verlängerung des Stabs, ε=ΔL/L\varepsilon = \Delta L / L, ein reines Verhältnis. Im elastischen Bereich – bevor eine bleibende Verbiegung oder ein Bruch eintritt – bleiben Spannung und Dehnung proportional, und die verbindende Konstante ist der Elastizitätsmodul, E=σ/εE = \sigma/\varepsilon. Einsetzen der beiden Definitionen ergibt E=(F L)/(A ΔL)E = (F\,L)/(A\,\Delta L).

Formel

GrößeSymbolBedeutung
ElastizitätsmodulEEE=σε=F LA ΔLE = \dfrac{\sigma}{\varepsilon} = \dfrac{F\,L}{A\,\Delta L}
Spannungσ\sigmaσ=FA\sigma = \dfrac{F}{A}
Dehnungε\varepsilonε=ΔLL\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}
KraftFFZugkraft entlang der Probe
FlächeAAQuerschnittsfläche

Da die Dehnung keine Einheit hat, trägt EE die Einheit der Spannung – Pascal – und wird am häufigsten in Gigapascal (GPa) angegeben.

Rechenbeispiel

Ein Stahlstab mit einem Querschnitt von 1 cm² (A=1×10−4 m2A = 1\times10^{-4}\ \text{m}^2) und einer Länge L=2 mL = 2\ \text{m} wird mit F=10 000 NF = 10\,000\ \text{N} belastet und verlängert sich um ΔL=1 mm\Delta L = 1\ \text{mm}:

σ=FA=10 0001×10−4=1×108 Pa=100 MPaε=ΔLL=0,0012=5×10−4E=σε=1×1085×10−4=2×1011 Pa=200 GPa\begin{aligned} \sigma &= \frac{F}{A} = \frac{10\,000}{1\times10^{-4}} = 1\times10^{8}\ \text{Pa} = 100\ \text{MPa} \\ \varepsilon &= \frac{\Delta L}{L} = \frac{0{,}001}{2} = 5\times10^{-4} \\ E &= \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{1\times10^{8}}{5\times10^{-4}} = 2\times10^{11}\ \text{Pa} = 200\ \text{GPa} \end{aligned}

Dieser Wert von 200 GPa entspricht dem Lehrbuch-Wert für Baustahl.

Typische Werte

Die Spanne zwischen verschiedenen Werkstoffen ist enorm: Gummi liegt bei 0,01–0,1 GPa, Holz und Knochen bei etwa 10–15 GPa, Aluminium bei 69 GPa, Stahl bei rund 200 GPa und Diamant über 1000 GPa. Ein höherer Modul bedeutet, dass der Werkstoff unter Last kaum nachgibt – nützlich für einen Brückenträger, wenig sinnvoll für eine Schuhsohle.

Einschränkungen

Der Modul beschreibt nur den elastischen Bereich, in dem der Werkstoff nach Entlastung in seine ursprüngliche Form zurückkehrt. Jenseits der Streckgrenze ist die Beziehung nicht mehr linear, die Probe verformt sich dauerhaft, und der Elastizitätsmodul gilt nicht mehr. Er misst außerdem die Steifigkeit, nicht die Festigkeit: Ein steifer Werkstoff kann dennoch spröde sein und bei geringer Last brechen. Der Zugversuch setzt eine gleichförmige Probe voraus, die rein axial zugbelastet wird und bei der die Kraft gleichmäßig über den Querschnitt verteilt ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Formel gilt für den Elastizitätsmodul?

Der Elastizitätsmodul ist E = σ/ε, das Verhältnis von Spannung zu Dehnung. Die Spannung ist die Kraft pro Flächeneinheit, σ = F/A, und die Dehnung ist die relative Verlängerung, ε = ΔL/L. Zusammen ergibt sich E = (F·L)/(A·ΔL). Da die Dehnung dimensionslos ist, hat E dieselbe Einheit wie die Spannung – Pascal – und wird üblicherweise in Gigapascal (GPa) angegeben.

Was ist der Unterschied zwischen Spannung und Dehnung?

Spannung ist das, was aufgebracht wird: die Kraft verteilt über den Querschnitt, gemessen in Pascal. Dehnung ist die Reaktion des Werkstoffs: die relative Längenänderung, eine dimensionslose Zahl. Im elastischen Bereich sind beide proportional zueinander, und die Proportionalitätskonstante ist der Elastizitätsmodul.

Welche typischen Werte hat der Elastizitätsmodul?

Richtwerte: Gummi 0,01–0,1 GPa, Holz 10–15 GPa, Knochen etwa 14 GPa, Aluminium 69 GPa, Stahl etwa 200 GPa und Diamant über 1000 GPa. Ein größerer Modul bedeutet, dass der Werkstoff unter Last kaum nachgibt – Stahl ist etwa dreimal so steif wie Aluminium.

Ist ein steiferer Werkstoff immer fester?

Nein. Der Elastizitätsmodul misst die Steifigkeit – wie stark sich ein Werkstoff unter einer gegebenen Spannung dehnt – nicht die Festigkeit, also die Spannung, bei der er fließt oder bricht. Grauguss ist steif, aber spröde; viele Kunststoffe sind wenig belastbar, aber dennoch flexibel. Der Modul beschreibt nur den elastischen Bereich, bevor eine bleibende Verformung einsetzt.

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