最後更新：2026-06-28

IEEE 754 浮點數位元分解

電腦儲存的幾乎每一個數值都是浮點數。處理器並非列舉所有實數，而是將一個數拆解為符號、縮放過的指數，以及固定位元寬度的尾數，再組合還原出近似值。IEEE 754 標準（1985 年首次發布、2008 年修訂）規定了這套機制的完整細節，各主流語言與處理器皆遵循此規範。

位元配置

IEEE 754 單精度（32 位元）數值由三個欄位組成，緊密排列在一個 32 位元字組中：

欄位	位元	寬度
符號位元	31	1
指數欄位	30–23	8
尾數位元	22–0	23

雙精度（64 位元）將指數欄位擴展至 11 位元、尾數擴展至 52 位元，符號位元仍佔 1 位元。

正規化數的值由下式還原：

$$(-1)^S \times 1.M \times 2^{E - \text{bias}}$$

其中 $S$ 為符號位元，$M$ 為以二進位解讀的尾數小數部分，偏移量（bias）單精度為 127、雙精度為 1023。式中 $1.M$ 的最高位 1 為隱含位元，不儲存在位元欄位中，因此等同於多獲得一個位元的精度。

0.1 無法精確表示的原因

大多數常見的十進位小數在二進位中並不終止。0.1 在二進位中展開為循環序列：

$$0.1_{10} = 0.\overline{0001100110011\ldots}_2$$

由於尾數欄位的位元數有限（單精度 23 位元、雙精度 52 位元），此序列被捨入至最接近的可表示值。雙精度下，實際儲存的值約為 0.10000000000000000555，與精確的 0.1 存在微小差距。兩個捨入值相加後誤差累積：

$$0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004$$

這不是程式錯誤，而是二進位表示法的必然結果。計算工具中的儲存值欄位顯示位元樣式所對應的精確十進位值，可用任意數值觀察捨入情形。

特殊值

IEEE 754 保留兩種指數樣式用於特殊情況：

指數位元	尾數位元	意義
全為零 (0)	全為零	±0
全為零 (0)	非零	次正規數（極小值）
全為一 (255/2047)	全為零	±無限大
全為一 (255/2047)	非零	NaN（非數值）

次正規數（subnormal number）犧牲隱含最高位 1，以表示比最小正規數更小的數值，代價是精度降低。±無限大出現於溢位或除以零時。NaN 則由 0 ÷ 0、√−1 等未定義運算產生。

單精度與雙精度的比較

單精度佔 32 位元，提供約 7 位有效十進位數字，可表示的數值範圍約為 ±1.2 × 10⁻³⁸ 至 ±3.4 × 10³⁸。雙精度佔 64 位元，提供 15 至 17 位有效數字，範圍可達 ±2.2 × 10⁻³⁰⁸ 至 ±1.8 × 10³⁰⁸。

多數通用程式語言以雙精度作為浮點型別的預設格式。單精度常見於影像處理管線、神經網路權重參數以及嵌入式韌體等場合，這些情境對記憶體頻寬與運算速度的要求高於精度。

解讀十六進位輸出

十六進位欄位以精簡格式呈現數值的完整位元樣式。每個十六進位數字代表 4 位元，因此單精度值以 8 位十六進位數字表示，雙精度值以 16 位表示。工程師透過十六進位在位元層級比較浮點數值、識別無限大或 NaN 等特殊樣式，以及除錯跨平台序列化時需保持位元完整的資料。

例如，常數 π 以單精度儲存時為 0x40490FDB，以雙精度儲存時為 0x400921FB54442D18。從十六進位可直接讀出指數與尾數，亦可看出雙精度攜帶了更多尾數位元。如需進一步探索二進位與十六進位運算，可參閱 進制轉換工具。

常見問題（FAQ）

為什麼 0.1 無法精確儲存？

IEEE 754 以二進位儲存數值，而十進位的 0.1 在二進位中是循環小數，無法有限表示——就如同 1/3 在十進位中展開為 0.333… 一般。由於尾數欄位的位元數有限（單精度 23 位元、雙精度 52 位元），只能捨入至最接近的可表示值。雙精度下，實際儲存的值約為 0.10000000000000000555。兩個捨入值相加後誤差累積，因此 0.1 + 0.2 的計算結果為 0.30000000000000004，而非恰好等於 0.3。「儲存值」欄位顯示位元樣式所代表的精確十進位值，可用任意數值觀察捨入情形。

單精度與雙精度各適用於哪些情境？

雙精度（64 位元）提供約 15 至 17 位有效十進位數字，是大多數程式語言浮點型別的預設格式。單精度（32 位元）約有 7 位有效數字，記憶體用量僅為雙精度的一半，在具備專屬 32 位元浮點運算單元的硬體上速度也更快。影像處理管線、神經網路權重參數以及嵌入式系統等對記憶體頻寬與運算速度要求高於精度的應用場合，普遍採用單精度。