折扣疊加計算機

最後更新：2026-05-09

折扣疊加的運作方式

折扣疊加是指對同一商品連續套用多筆百分比折扣，每一筆都作用在前一筆折扣後 的剩餘價格上。其數學本質是乘法而非加法：先打七折再折八折，等於原價乘以 0.70 再乘以 0.80，得到 56 折（44 % off），而非把兩段折扣率相加得到的五折。

實質折扣率

將多筆連續折扣換算成單筆折扣時，所對應的折扣率即為實質折扣率。例如先打七折 再折八折的實質折扣率為 44 %，與直接打 56 折（44 % off）的最終價格完全相同。

一個實例

1,000 元的商品，先打七折再折八折，過程如下：

步驟	計算	價格
原價		1,000 元
打七折後	1,000 × 0.70	700 元
再折八折後	700 × 0.80	560 元
同樣加總（5 折）一次套用	1,000 × 0.50	500 元
差額		60 元

實際省下 440 元，而不是 500 元。實質折扣是 44 %，而不是 50 %。與直接打五折 相比，疊加方式的節省金額少了 60 元。

常見折扣組合一覽

文宣標示	實際折扣率
打七折再折八折	44 % off
打七折再打七折	51 % off
半價再半價（各50%）	75 % off
打五折再折八折	60 % off
九折 × 5 次	41 % off

純 % 折扣下，順序不影響結果

乘法可交換：$(1 - 0.30)(1 - 0.20) = (1 - 0.20)(1 - 0.30) = 0.56$。所以 結帳時不管收銀員先掃店家折扣或先掃會員價，只要全是 % 折扣，最終價就 一樣。

只要混進定額折價券，順序就會改變結果。 1,000 元的商品為例， 「先折 100 元再打八折」是 900 × 0.80 = 720 元；「先打八折再折 100 元」 則是 800 − 100 = 700 元。定額券在價格還高的時候使用比較划算。本工具 僅處理純 % 的情境，遇到定額券請另外算或先請收銀員確認套用順序。

營業稅與最終價格

本工具的營業稅以折後價格為基礎計算。若面對的是「依原價課稅」的制度 （部分 VAT 屬此類），請用原價單獨算出稅額，再加到已折扣的小計上。

公式

對價格 $P$ 套用單一折扣 $d$，付款金額是 $P \cdot (1 - d)$。所謂疊加， 就是第二筆以後的折扣套用在「上一筆折扣後剩下的價格」上，因此把 $d_1$ 與 $d_2$ 疊在一起會得到：

$$P \cdot (1 - d_1) \cdot (1 - d_2)$$

對於 $n$ 筆疊加，最終價為：

$$\text{最終價} = P \cdot \prod_{i=1}^{n} (1 - d_i)$$

能夠造出同樣最終價的「單筆 % 折扣」，也就是 實質折扣率，為：

$$d_{\text{eff}} = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - d_i)$$

只要至少有兩筆非零折扣，這個值就一定 嚴格小於 $\sum d_i$； 因為對於任何 $a, b > 0$ 都有 $(1-a)(1-b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b$。

結帳前的心算

兩筆 $d_1$ 與 $d_2$ 疊加時，單純加總與實質折扣的差距大約等於 $d_1 \cdot d_2$：

$$d_{\text{eff}} = (d_1 + d_2) - d_1 \cdot d_2$$

恰好兩筆折扣時，此公式嚴格成立，並非近似。三筆以上時出現高階項， 才成為近似——但在實際使用上精度已足夠。

常見組合：

• 打七折再折八折 → 0.30 × 0.20 = 0.06 → 約 44 %（正解就是 44 %）。
• 打六折再折七折 → 0.12 → 約 58 %（正解 58 %）。
• 打 75 折再折 75 折 → 0.0625 → 約 43.75 %（正解 43.75 %）。

三筆以上時，只要記住「每一筆都是套用在『上面所有折扣後的剩餘價』上」 就能粗估。10 % 折扣疊五次只能到 $1 - 0.9^5 = 41\%$，到不了 50 %。

疊加表述與分段折扣的特性

由於疊加為乘法合成，分段表述的折扣標題在數字感受上會大於實質折扣率。 以「30 % + 20 %」為例，兩段加總在直覺上接近 50 %，但實質折扣率為 44 %。 此外，「現場打七折」與「結帳再折八折」分屬兩個結帳階段，各自以原價為比較 基準，因此單看每一段時折扣感受較強。分段折扣在營運上也保留了個別調整的 空間：相較於一次性的五折，兩段折扣可分別替換或調整，下檔促銷時不必更動整體 標價結構。閱讀促銷文宣時，以實質折扣率作為比較基準，較能準確衡量分段折扣與 單次折扣之間的差異。

常見問題（FAQ）

為什麼「打七折再折八折」不是打五折？

因為第二筆折扣是套用在「已經打過七折的價格」，不是原價。1,000 元打七折剩下 700 元，再打八折等於再扣 140 元，最後是 560 元。如果一次就打五折，會剩 500 元。中間 60 元的差價留給商家，但廣告標語仍然聽起來比實際更大。

疊加折扣的順序會影響結果嗎？

只要全部都是 % 折扣就不會影響：乘法可交換，(1 − 0.30)(1 − 0.20) = (1 − 0.20)(1 − 0.30) = 0.56。但只要混進「滿額折 OO 元」這類定額折扣，順序就會改變結果（例如「先折 100 元再打 80 折」和「先打 80 折再折 100 元」答案不同）。本工具僅處理純 % 的情況。

有沒有可以心算的實質折扣估算法？

兩筆 d₁、d₂ 疊加時，直覺加總與實質折扣的差距大約等於 d₁ · d₂。打七折再折八折時，差距約 0.30 × 0.20 = 6 個百分點，落在 44 %（剛好就是 44 %）。打六折再折七折，差距約 12 個百分點，約 58 %（剛好 58 %）。對結帳前心算來說已經夠用。

營業稅是怎麼處理的？

本工具的營業稅以折後價格為基礎計算。如果適用的是「依原價課稅」的制度，請另外用原價計算稅額，再加到已折扣的小計上。