Erstellt am: 17. Juni 2026 um 17:25

Bohrsches-Atommodell-Rechner

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Hauptquantenzahl1
Ordnungszahl1

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Physik

Bohrsches-Atommodell-Rechner

Berechnen Sie die Energie, den Bahnradius und die Elektronengeschwindigkeit für ein wasserstoffähnliches Atom mit dem Bohrschen Atommodell. Geben Sie die Hauptquantenzahl n und die Ordnungszahl Z ein, um E_n, r_n und v_n zu erhalten.

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Bohrsches Atommodell

Das Bohrsche Atommodell beschreibt ein wasserstoffähnliches Atom als ein einzelnes Elektron, das einen positiven Kern auf einer von mehreren erlaubten Kreisbahnen umkreist. Jede Bahn hat eine feste Energie, und das Elektron sendet oder absorbiert nur dann ein Photon, wenn es zwischen Bahnen springt. 1913 von Niels Bohr eingeführt, war es das erste Modell, das die diskreten Spektrallinien des Wasserstoffs erklärte.

Dieser Rechner nimmt die Hauptquantenzahl nn und die Ordnungszahl ZZ und liefert die Energie EnE_n, den Bahnradius rnr_n und die Elektronengeschwindigkeit vnv_n.

Wie das Modell funktioniert

Bohr postulierte, dass der Drehimpuls eines Elektrons quantisiert ist, was es auf bestimmte Bahnen beschränkt. Jede erlaubte Bahn hat einen festen Radius, eine feste Geschwindigkeit und eine feste Energie. Da die Energien diskret sind, trägt das bei einem Übergang ausgesandte Photon genau die Energiedifferenz zwischen zwei Niveaus — wodurch die scharfen Linien in Atomspektren entstehen statt eines kontinuierlichen Regenbogens.

Formeln

GrößeSymbolDefinition
EnergieniveauEnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}
Bahnradiusrnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}
Elektronengeschwindigkeitvnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

Dabei ist n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots die Hauptquantenzahl, ZZ die Ordnungszahl, a0a_0 der Bohrsche Radius und α\alpha die Feinstrukturkonstante.

Rechenbeispiel

Für Wasserstoff im Grundzustand gilt n = 1 und Z = 1.

Energie:

E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}

Radius:

r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}

Geschwindigkeit:

v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

Das Elektron sitzt 0,0529 nm vom Proton entfernt, bewegt sich mit ungefähr 0,7 % der Lichtgeschwindigkeit und ist mit 13,6 eV gebunden.

Energieniveaus des Wasserstoffs

Niveau nnEnE_n (eV)rnr_n (nm)
1−13,610,053
2−3,400,212
3−1,510,476
4−0,850,847
∞0∞

Die Niveaus rücken zusammen, wenn nn wächst, und konvergieren gegen null, die Ionisierungsschwelle. Die Lücke von 13,6 eV zwischen dem Grundzustand (n = 1) und dem freien Elektron ist die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.

Praktische Bedeutung

Das Bohrsche Atommodell erklärt die Balmer-, Lyman- und Paschen-Spektralserien des Wasserstoffs und liefert die korrekte Ionisierungsenergie. Dieselben Formeln beschreiben mit dem passenden ZZ Ein-Elektronen-Ionen wie He⁺ und Li²⁺. Es bleibt eine Standardeinführung in die Atomstruktur und in die Idee der quantisierten Energie.

Einschränkung

Das Bohrsche Atommodell ist nur für wasserstoffähnliche (Ein-Elektronen-)Systeme exakt. Es gibt weder die Spektren von Mehrelektronenatomen noch die Feinstruktur noch die chemische Bindung wieder, und seine festen Bahnen stehen im Widerspruch zur Quantenunschärfe. Die vollständige Quantenmechanik ersetzt die Bahnen durch Orbitale, doch Bohrs Energieformel für Wasserstoff bleibt unversehrt erhalten.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Bohrsche Atommodell?

Das 1913 von Niels Bohr vorgeschlagene Bohrsche Atommodell stellt ein Atom als einen kleinen positiven Kern dar, der von Elektronen auf festen Kreisbahnen umkreist wird, ähnlich wie Planeten um die Sonne. Seine zentrale neue Idee war, dass Elektronen nur bestimmte erlaubte Bahnen mit quantisierten Energien besetzen können und nur dann Licht aussenden oder absorbieren, wenn sie zwischen diesen Bahnen springen. Das Modell erklärte erfolgreich die Spektrallinien des Wasserstoffs und führte die Hauptquantenzahl n ein, wodurch es eine entscheidende Brücke zwischen der klassischen Physik und der modernen Quantenmechanik wurde.

Wie werden die Energieniveaus berechnet?

Im Bohrschen Atommodell ist die Energie des Niveaus n für ein wasserstoffähnliches Atom E_n = −13,6057 eV × Z²/n², wobei Z die Ordnungszahl und n die Hauptquantenzahl ist. Für Wasserstoff (Z = 1) hat der Grundzustand (n = 1) E₁ = −13,6 eV, der erste angeregte Zustand (n = 2) hat E₂ = −3,40 eV und so weiter. Die Energien sind negativ, weil das Elektron an den Kern gebunden ist; ein Elektron mit der Energie null ist gerade eben frei. Die Energie, die nötig ist, um das Grundzustandselektron vollständig zu entfernen — 13,6 eV für Wasserstoff — ist die Ionisierungsenergie.

Was ist der Bohrsche Radius?

Der Bohrsche Radius a₀ ≈ 5,29 × 10⁻¹¹ m (0,0529 nm) ist der Radius der kleinsten Bahn im Wasserstoff, entsprechend n = 1 und Z = 1. Der Radius jeder anderen Bohrschen Bahn ist r_n = a₀ × n²/Z. Die Bahnen wachsen rasch mit n (die n = 2-Bahn ist viermal größer als die n = 1-Bahn) und schrumpfen, wenn die Kernladung Z zunimmt, weil eine stärkere Anziehung das Elektron näher hält. Der Bohrsche Radius ist bis heute eine Standardlängenskala in der Atomphysik.

Welche Grenzen hat das Bohrsche Atommodell?

Das Bohrsche Atommodell funktioniert nur für Wasserstoff und andere Ein-Elektronen-Ionen (wasserstoffähnliche Ionen) gut. Es kann weder die Spektren von Mehrelektronenatomen noch die Feinstruktur und die relativen Intensitäten der Spektrallinien noch die Formen chemischer Bindungen genau vorhersagen. Sein Bild von Elektronen auf festen Kreisbahnen steht zudem im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation. Die moderne Quantenmechanik ersetzt die Bahnen durch dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen, sogenannte Orbitale, doch die Energieniveau-Formel des Bohrschen Modells für Wasserstoff ist nach wie vor exakt und bleibt ein wertvolles Lehrmittel.

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