RMS-Geschwindigkeit Rechner

Temperatur	298,15 K
Molmasse	28,97 g/mol

Temperatur

298,15 K

Molmasse

28,97 g/mol

Zuletzt aktualisiert: 2026-06-15

RMS-Geschwindigkeit

Die Moleküle in der Luft um Sie herum sind nicht in Ruhe – sie rasen mit Hunderten von Metern pro Sekunde umher und stoßen milliardenfach pro Sekunde zusammen. Die kinetische Gastheorie verbindet dieses mikroskopische Chaos mit einer einzigen messbaren Größe: der Temperatur. Dieser Rechner liefert die quadratische mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle sowie die mittlere und wahrscheinlichste Geschwindigkeit – allein aus Temperatur und Molmasse.

Herleitung der Formel

Die kinetische Gastheorie betrachtet ein Gas als unzählige kleine Teilchen in zufälliger Bewegung. Ihre mittlere Translationskinetische Energie hängt nur von der Temperatur ab: $\tfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \tfrac{3}{2}kT$ pro Molekül. Umgestellt nach dem Mittelwert der quadrierten Geschwindigkeit und Wurzelziehen ergibt sich die quadratische mittlere Geschwindigkeit. Pro Mol ausgedrückt, mit der Gaskonstante $R$ und der Molmasse $M$ , ergibt sich $v_\text{rms} = \sqrt{3RT/M}$ .

Formel

Größe	Symbol	Bedeutung
RMS-Geschwindigkeit	$v_\text{rms}$	$v_\text{rms} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$
Mittlere Geschwindigkeit	$v_\text{avg}$	$v_\text{avg} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}$
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit	$v_p$	$v_p = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$

Dabei ist $R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$ , $T$ die absolute Temperatur und $M$ die Molmasse in kg/mol. Geben Sie die Molmasse in der gebräuchlichen Einheit g/mol ein; der Rechner wandelt sie um.

Rechenbeispiel

Luft ( $M = 28{,}97\ \text{g/mol}$ ) bei Raumtemperatur, $T = 298{,}15\ \text{K}$ :

\begin{aligned} v_\text{rms} &= \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 298.15}{0.02897}} \\ &\approx 507\ \text{m/s} \end{aligned}

Etwas über 500 m/s – schneller als die Reisegeschwindigkeit eines Verkehrsflugzeugs. Das ist nur der Durchschnitt; einzelne Moleküle reichen von nahezu stehend bis weit über einen Kilometer pro Sekunde.

Die drei Geschwindigkeiten

Da Moleküle in einem Gas eine Geschwindigkeitsverteilung besitzen – die Maxwell-Boltzmann-Verteilung –, sind drei verschiedene Mittelwerte nützlich. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit $v_p$ markiert das Maximum der Verteilung, die mittlere Geschwindigkeit $v_\text{avg}$ ist das arithmetische Mittel, und die RMS-Geschwindigkeit $v_\text{rms}$ ist die größte der drei, da das Quadrieren den schnellen Molekülen mehr Gewicht verleiht. Ihr Verhältnis ist stets $v_p : v_\text{avg} : v_\text{rms} = 1 : 1{,}128 : 1{,}225$ . Die RMS-Geschwindigkeit ist diejenige, die mit der kinetischen Energie verknüpft ist, weshalb sie in der Physik am häufigsten vorkommt.

Einschränkungen

Diese Ergebnisse gelten für ein ideales Gas: punktförmige Moleküle ohne Kräfte untereinander außer bei Kollisionen. Reale Gase weichen bei hohem Druck oder nahe dem Kondensationspunkt ab, wo Molekülgröße und Anziehungskräfte eine Rolle spielen. Die Formel liefert Geschwindigkeitsbeträge, keine Geschwindigkeitsvektoren – die Moleküle bewegen sich in alle Richtungen gleich, sodass die mittlere Geschwindigkeit (als Vektor) null ist, obwohl der mittlere Betrag groß ist. Außerdem beschreibt sie nur die Translationsbewegung, nicht die Rotation oder Schwingung, die bei mehratomigen Molekülen ebenfalls Energie speichern.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die RMS-Geschwindigkeit eines Gases?

Die quadratische mittlere Geschwindigkeit berechnet sich als v_rms = √(3RT/M), wobei R = 8,314 J/(mol·K) die universelle Gaskonstante, T die absolute Temperatur und M die Molmasse in kg/mol ist. Sie ist die Wurzel aus dem Mittelwert der quadrierten Geschwindigkeiten und direkt mit der mittleren kinetischen Energie der Moleküle verknüpft: ½m·v_rms² entspricht der mittleren Translationskinetischen Energie.

Wie unterscheiden sich die drei Geschwindigkeiten?

Moleküle in einem Gas haben eine Verteilung von Geschwindigkeiten, beschrieben durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung, und jede Geschwindigkeit fasst diese auf andere Weise zusammen. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v_p markiert das Maximum der Verteilung. Die mittlere Geschwindigkeit v_avg ist das arithmetische Mittel. Die RMS-Geschwindigkeit v_rms ist die größte der drei, da das Quadrieren den schnellen Molekülen mehr Gewicht gibt. Ihr Verhältnis ist stets fest: v_p : v_avg : v_rms = 1 : 1,128 : 1,225.

Warum bewegen sich leichtere Gase schneller?

Bei einer gegebenen Temperatur hat jedes Gas dieselbe mittlere kinetische Energie, sodass ein leichteres Molekül schneller sein muss, um diese Energie zu tragen. Da die Geschwindigkeit mit 1/√M skaliert, bewegt sich Wasserstoff (M ≈ 2) etwa viermal so schnell wie Sauerstoff (M ≈ 32). Deshalb lecken leichte Gase wie Wasserstoff und Helium schnell durch kleine Öffnungen und entweichen sogar über geologische Zeiträume aus der Atmosphäre.

Wie ändert sich die Geschwindigkeit mit der Temperatur?

Die Geschwindigkeit steigt mit der Wurzel der absoluten Temperatur, v_rms ∝ √T. Um die Molekülgeschwindigkeit zu verdoppeln, muss man die absolute Temperatur vervierfachen. Bei Raumtemperatur (etwa 298 K) bewegen sich Luftmoleküle bereits mit etwa 500 m/s – schneller als ein Passagierjet – und stoßen dabei milliardenfach pro Sekunde zusammen.

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