Résolution d'équation en valeur absolue (|ax + b| = c)

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Qu'est-ce qu'une équation en valeur absolue ?

Une équation en valeur absolue de la forme $|ax + b| = c$ demande pour quelles valeurs de $x$ la quantité $ax + b$ se trouve exactement à une distance $c$ de l'origine. Cette calculatrice traite les trois cas possibles : deux solutions, une solution et aucune solution réelle.

Méthode de résolution

Le principe fondamental est le suivant : $|expression| = c$ signifie que l'expression vaut soit $c$, soit $-c$, car les deux sont à la même distance de zéro. On décompose l'équation en valeur absolue en deux équations du premier degré :

$$ax + b = c \quad \text{et} \quad ax + b = -c$$

En isolant $x$ dans chaque équation (avec $a \neq 0$) :

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

Les trois cas

Cas 1 : c > 0 — deux solutions

Lorsque $c$ est strictement positif, les deux équations donnent des valeurs de $x$ différentes, qui vérifient toutes les deux l'équation de départ.

Exemple : Résoudre $|2x - 3| = 7$.

On identifie : $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Vérification : $|2 \times 5 - 3| = |7| = 7$ ✓ et $|2 \times (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Cas 2 : c = 0 — une seule solution

Lorsque $c = 0$, les deux équations se confondent en $ax + b = 0$. Les deux formules donnent le même résultat :

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

Exemple : $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{2} = 2$.

Cas 3 : c < 0 — aucune solution réelle

La valeur absolue est toujours positive ou nulle : $|ax + b| \geq 0$ pour tout réel $x$. Demander qu'une quantité positive soit égale à un nombre négatif est impossible. L'équation n'a donc aucune solution réelle.

Exemple : $|2x - 3| = -5$ n'a aucune solution.

Sens géométrique

Sur la droite numérique, $|u|$ représente la distance entre le point $u$ et l'origine. En posant $u = ax + b$ :

$$|ax + b| = c$$

revient à chercher pour quelles valeurs de $x$ l'image de la fonction $ax + b$ se trouve exactement à $c$ unités de l'origine. Comme la distance est symétrique, il y a deux emplacements possibles ($+c$ et $-c$), ce qui donne au plus deux valeurs de $x$.

Cette interprétation explique également pourquoi $c < 0$ ne donne aucune solution : une distance ne peut pas être négative.

Le cas particulier a = 0

Si $a = 0$, l'équation devient $|b| = c$, ce qui ne fait plus intervenir $x$. La calculatrice signale cette saisie comme non valide, car l'expression ne constitue plus une équation en $x$ — c'est une simple assertion arithmétique sur $b$ et $c$.

Questions fréquentes (FAQ)

Pourquoi une équation en valeur absolue peut-elle avoir deux solutions ?

|ax + b| = c signifie que l'expression entre les barres est égale à c ou à −c, car ces deux valeurs sont à la même distance de zéro. On obtient ainsi deux équations du premier degré — ax + b = c et ax + b = −c — dont chacune donne une valeur de x. Lorsque c > 0, les deux équations fournissent des solutions distinctes ; lorsque c = 0, elles se confondent en une seule, ce qui donne une unique solution.

Que se passe-t-il quand c est négatif ?

La valeur absolue est toujours positive ou nulle : |ax + b| ≥ 0 quels que soient a, b et x. Lorsque c < 0, on demande qu'une quantité positive soit égale à un nombre négatif — ce qui est impossible. L'équation n'admet donc aucune solution réelle.

Quel est le sens géométrique de |x| ?

Sur la droite numérique, |x| représente la distance entre x et l'origine. Plus généralement, |ax + b| est la distance entre ax + b et zéro. Résoudre |ax + b| = c revient donc à chercher pour quelles valeurs de x l'image de la fonction linéaire ax + b se trouve exactement à c unités de l'origine. Comme la distance est symétrique, il y a deux emplacements possibles (+c et −c), ce qui donne au plus deux valeurs de x.

Quelle est la différence avec une inéquation en valeur absolue ?

Une équation en valeur absolue (|ax + b| = c) cherche les valeurs exactes de x pour lesquelles l'expression est égale à c — elle donne un ensemble fini de solutions. Une inéquation en valeur absolue (|ax + b| < c ou |ax + b| > c) cherche un intervalle : toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression est strictement inférieure ou supérieure à c. L'inéquation fournit donc une plage de solutions plutôt que des points isolés.