Dernière mise à jour : 2026-05-18

L'intervalle de confiance

Un intervalle de confiance fournit une plage de valeurs plausibles pour un paramètre de population inconnu — généralement la moyenne — à partir des données d'un échantillon. Entrez vos statistiques d'échantillon et choisissez le niveau de confiance pour obtenir l'intervalle, la marge d'erreur et la valeur Z.

Formules

Avec la moyenne d'échantillon $\bar{x}$, l'écart type $\sigma$, la taille d'échantillon $n$ et la valeur Z critique $z^*$ :

Erreur standard :

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Marge d'erreur :

$$ME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Intervalle de confiance :

$$CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

Valeurs Z critiques (loi normale standard) :

Niveau de confiance	$z^*$
90 %	1,6449
95 %	1,9600
99 %	2,5758

Interprétation probabiliste de l'intervalle de confiance

L'idée reçue la plus répandue : « il y a 95 % de chances que la vraie moyenne soit dans cet intervalle. » C'est inexact. La moyenne de la population $\mu$ est une constante fixe (inconnue) — ce n'est pas une variable aléatoire. C'est l'intervalle lui-même qui est aléatoire.

L'interprétation correcte : si vous répétiez votre processus d'échantillonnage de nombreuses fois et construisiez un intervalle de confiance à 95 % à partir de chaque échantillon, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. Votre intervalle spécifique contient $\mu$ ou ne le contient pas — vous ne savez tout simplement pas lequel.

En pratique : un IC à 95 % est une plage que vous pouvez communiquer avec un haut degré de confiance, sachant qu'en moyenne 1 intervalle sur 20 ne couvre pas la vraie valeur.

Distribution Z ou loi t : critères de choix

Cette calculatrice utilise la distribution Z (loi normale standard). Elle est appropriée lorsque :

• L'écart type de la population $\sigma$ est connu, OU
• La taille de l'échantillon est grande ($n \geq 30$), de sorte que le théorème central limite garantit que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale

Lorsque $\sigma$ est inconnu et $n < 30$, utilisez la distribution t avec $n - 1$ degrés de liberté. La distribution t a des queues plus lourdes, ce qui produit des intervalles plus larges (plus conservateurs). Pour $n \geq 30$, la différence entre Z et t est négligeable.

Comment la taille de l'échantillon affecte l'intervalle

La marge d'erreur diminue à mesure que $\sqrt{n}$ augmente. Pour diviser la marge d'erreur par deux, il faut quatre fois la taille d'échantillon — une contrainte essentielle dans la conception d'enquêtes.

Taille d'échantillon	ME (95 %, σ = 10)
n = 25	±3,92
n = 100	±1,96
n = 400	±0,98
n = 1600	±0,49

Exemple concret : analyse des notes d'un examen

Un enseignant sélectionne aléatoirement 35 copies dans une classe. La moyenne de l'échantillon est de 47,3 points avec un écart type de 11,8.

Erreur standard : $SE = 11{,}8 / \sqrt{35} \approx 1{,}994$

Intervalle de confiance à 95 % : $ME = 1{,}96 \times 1{,}994 \approx 3{,}91$

$$CI = [47{,}3 - 3{,}91,\ 47{,}3 + 3{,}91] = [43{,}4,\ 51{,}2]$$

Interprétation : « D'après cet échantillon de 35 copies, nous estimons que la moyenne de la classe se situe entre 43,4 et 51,2 points, avec un niveau de confiance de 95 %. »

À 99 % de confiance, l'intervalle s'élargit : $ME = 2{,}576 \times 1{,}994 \approx 5{,}14$, donnant $[42{,}2,\ 52{,}4]$. Un niveau de confiance plus élevé produit systématiquement un intervalle plus large.

Questions fréquentes (FAQ)

Que signifie un intervalle de confiance à 95 % ?

Un intervalle de confiance à 95 % ne signifie pas que la vraie moyenne a 95 % de chances de se trouver dans cet intervalle. La moyenne de la population est une valeur fixe : elle est soit dans l'intervalle, soit elle ne l'est pas.

L'interprétation correcte est la suivante : si l'on répétait de nombreuses fois la procédure d'échantillonnage, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie moyenne de la population. L'intervalle calculé est l'un de ces intervalles.

Comment calcule-t-on la marge d'erreur ?

Marge d'erreur = z* × (σ ÷ √n), où z* est la valeur Z critique correspondant au niveau de confiance choisi (1,645 pour 90 %, 1,960 pour 95 %, 2,576 pour 99 %), σ l'écart-type et n la taille de l'échantillon. Exemple pour σ = 11,8 et n = 35 à 95 % : SE = 11,8 ÷ √35 ≈ 1,994 ; marge d'erreur = 1,960 × 1,994 ≈ 3,91.

Quelle est la différence entre un intervalle de confiance et un intervalle de prédiction ?

Un intervalle de confiance estime la plage dans laquelle se situe la moyenne de la population. Un intervalle de prédiction estime la plage dans laquelle tombera une nouvelle observation individuelle.

Les intervalles de prédiction sont toujours plus larges, car ils tiennent compte à la fois de l'incertitude sur la moyenne et de la variabilité propre à chaque observation. Pour une distribution normale, un intervalle de prédiction à 95 % est approximativement x̄ ± 2σ.

Quand utiliser la loi t plutôt que Z ?

La loi t (valeur t au lieu de valeur Z) s'impose lorsque : (1) l'écart-type de la population σ est inconnu et estimé à partir de l'échantillon, ou (2) la taille de l'échantillon est faible (n < 30) et la normalité de la population n'est pas établie.

Pour les grands échantillons (n ≥ 30), la loi t se rapproche de la loi normale et la valeur Z constitue une bonne approximation. Ce calculateur utilise la distribution Z, appropriée lorsque σ est connu ou que n ≥ 30.