Dernière mise à jour : 2026-06-04

La divisibilité est l'une des notions fondatrices de la théorie des nombres : un entier n est divisible par un entier non nul d lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste nul — autrement dit, lorsqu'il existe un entier k tel que n = d × k. Ce calculateur applique les critères de divisibilité classiques pour chaque diviseur de 2 à 11 et indique immédiatement si l'entier saisi satisfait chacun d'eux.

Critères par diviseur

Par 2

Un entier est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8. La justification est immédiate : 10 ≡ 0 (mod 2), de sorte que toutes les puissances de 10 supérieures à l'unité contribuent un multiple de 2 ; seul le chiffre des unités détermine le reste.

Par 3

On additionne tous les chiffres de l'entier. Si cette somme est divisible par 3, l'entier l'est aussi. Par exemple, 12 345 a pour somme des chiffres 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, et 15 ÷ 3 = 5, donc 12 345 est divisible par 3. La justification repose sur le fait que 10 ≡ 1 (mod 3) : chaque chiffre contribue à la valeur modulo 3 exactement sa valeur propre, indépendamment de son rang.

Par 4

On examine uniquement les deux derniers chiffres. Si le nombre à deux chiffres qu'ils forment est divisible par 4, l'entier l'est aussi. Pour 12 345, les deux derniers chiffres donnent 45 ; 45 ÷ 4 = 11,25, donc 12 345 n'est pas divisible par 4. Ce critère fonctionne parce que 100 est exactement divisible par 4, si bien que les chiffres de rang centaine et au-delà ne contribuent pas au reste.

Par 5

Un entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. La justification est identique à celle du critère par 2 : 10 ≡ 0 (mod 5), donc seul le chiffre des unités importe.

Par 6

Un entier est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible à la fois par 2 et par 3. Puisque 6 = 2 × 3 et que PGCD(2, 3) = 1, les deux conditions sont indépendantes et doivent être satisfaites simultanément.

Par 7

Il n'existe pas de critère en une seule étape pour 7, mais une méthode itérative praticable : doubler le dernier chiffre, soustraire ce double au nombre formé par les chiffres restants, et répéter jusqu'à obtenir un résultat facilement reconnaissable. Si ce résultat est nul ou multiple de 7, l'entier de départ est divisible par 7. Pour 343 : dernier chiffre 3, double 6, on soustrait de 34 pour obtenir 28 ; 28 ÷ 7 = 4, donc 343 est divisible par 7. Ce calculateur évalue le reste de la division euclidienne directement, ce qui rend la méthode itérative superflue.

Par 8

On examine les trois derniers chiffres. Si le nombre à trois chiffres qu'ils forment est divisible par 8, l'entier l'est aussi, car 1 000 = 8 × 125 est exactement divisible par 8. Pour 12 345, les trois derniers chiffres donnent 345 ; 345 ÷ 8 = 43,125, donc 12 345 n'est pas divisible par 8.

Par 9

On applique le critère de la somme des chiffres, en testant cette fois la divisibilité par 9. Pour 12 345, la somme des chiffres vaut 15 ; 15 ÷ 9 = 1,67, donc 12 345 n'est pas divisible par 9. La justification est identique à celle du critère par 3 : 10 ≡ 1 (mod 9).

Par 10

Un entier est divisible par 10 si et seulement si son dernier chiffre est 0. C'est simplement la conjonction des critères par 2 et par 5.

Par 11

On calcule la somme alternée des chiffres : on soustrait le deuxième chiffre du premier, on ajoute le troisième, on soustrait le quatrième, et ainsi de suite, en partant du chiffre des unités. Si le résultat est nul ou multiple de 11, l'entier est divisible par 11. Pour 12 345, en partant de la droite : 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3 ; 3 n'est pas divisible par 11, donc 12 345 ne l'est pas non plus. La raison fondamentale : 10 ≡ −1 (mod 11), de sorte que chaque chiffre contribue alternativement +1 et −1 fois sa valeur propre.

Exemple traité

55 440 est-il divisible par chacun des entiers de 2 à 11 ?

• Par 2 : dernier chiffre 0 → oui
• Par 3 : somme des chiffres 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18 ; 18 ÷ 3 = 6 → oui
• Par 4 : deux derniers chiffres 40 ; 40 ÷ 4 = 10 → oui
• Par 5 : dernier chiffre 0 → oui
• Par 6 : divisible par 2 et par 3 → oui
• Par 7 : 55 440 ÷ 7 = 7 920 exactement → oui
• Par 8 : trois derniers chiffres 440 ; 440 ÷ 8 = 55 → oui
• Par 9 : somme des chiffres 18 ; 18 ÷ 9 = 2 → oui
• Par 10 : dernier chiffre 0 → oui
• Par 11 : somme alternée 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → oui

55 440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 est divisible par les dix diviseurs de 2 à 11.

Cas particulier : zéro

Zéro est divisible par tout entier non nul. Par définition, il faut trouver un entier k tel que 0 = d × k ; il suffit de prendre k = 0, ce qui est valable pour tout d non nul. Ce calculateur retourne « divisible » pour n = 0 et chacun des dix tests.

Limite de précision

Le calculateur utilise l'arithmétique en virgule flottante 64 bits, qui représente exactement les entiers jusqu'à 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. Pour des entiers dont la valeur absolue dépasse 10¹⁵, des erreurs d'arrondi peuvent produire des résultats incorrects. Pour traiter des entiers de grande taille, il convient d'utiliser une bibliothèque de calcul en précision arbitraire.