Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux et les trois angles intérieurs mesurent chacun 60°. La connaissance du seul côté $a$ suffit à déterminer toutes les autres mesures : hauteur, aire, périmètre, rayon circonscrit et rayon inscrit.

Hauteur

Abaissez une perpendiculaire depuis un sommet quelconque vers le côté opposé. Par symétrie, elle coupe ce côté en deux moitiés, formant deux triangles 30-60-90 d'hypoténuse $a$. Par le théorème de Pythagore :

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Pour $a = 6$ : $h = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$

Aire

À partir de la formule $S = \tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$ :

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Pour $a = 6$ : $S = 9\sqrt{3} \approx 15{,}588$

Rayon circonscrit et rayon inscrit

Rayon circonscrit $R$ (rayon du cercle passant par les trois sommets) :

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Rayon inscrit $r$ (rayon du cercle inscrit tangent aux trois côtés) :

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

Une identité remarquable : $R = 2r$. Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit, le centre de gravité et l'orthocentre coïncident en un unique point de symétrie.

Côté $a$	Hauteur $h$	Aire $S$	$R$	$r$
1	0,866	0,433	0,577	0,289
6	5,196	15,588	3,464	1,732
10	8,660	43,301	5,774	2,887

Le lien avec le triangle 30-60-90

Chaque triangle équilatéral se divise en six triangles 30-60-90 congruents par ses trois médianes. Le rapport des côtés $1 : \sqrt{3} : 2$ explique pourquoi $\sqrt{3}$ apparaît dans toutes les formules du triangle équilatéral.

Démonstration de R = 2r

Le centre de gravité coïncide avec le centre circonscrit et le centre inscrit. Chaque médiane a pour longueur $h = a\sqrt{3}/2$, et le centre de gravité la divise dans le rapport $2:1$ à partir du sommet :

• Distance centre de gravité–sommet : $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• Distance centre de gravité–milieu du côté : $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• Donc $R = 2r$ ✓

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule de l'aire d'un triangle équilatéral ?

L'aire d'un triangle équilatéral de côté a est S = (√3 ÷ 4) × a². Par exemple, pour a = 6 : S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15,588. Cette formule découle de base × hauteur ÷ 2, en substituant la hauteur h = a√3 ÷ 2.

Comment calculer la hauteur d'un triangle équilatéral ?

Abaissez une perpendiculaire d'un sommet sur le côté opposé. Par symétrie, elle coupe ce côté en deux parties égales, formant deux triangles 30-60-90 d'hypoténuse a et de petit côté a/2. Par le théorème de Pythagore : h² = a² − (a/2)² = 3a²/4, d'où h = a√3 ÷ 2. Pour a = 6 : h = 3√3 ≈ 5,196.

Qu'est-ce que le rayon du cercle circonscrit d'un triangle équilatéral ?

Le rayon circonscrit R (rayon du cercle passant par les trois sommets) vaut R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3. Pour a = 6 : R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3,464. Cela se déduit de la loi des sinus généralisée : R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3.

Pourquoi le rayon circonscrit est-il le double du rayon inscrit dans un triangle équilatéral ?

Pour un triangle équilatéral : R = a√3 ÷ 3 et r = a√3 ÷ 6, donc R = 2r exactement. Géométriquement, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit et le centre de gravité coïncident en un seul point. Ce point se trouve aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet, à distance R du sommet et à distance r du milieu du côté.