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Calculateur d'espérance mathématique

Données

Valeurs10, -5, 20
Probabilités0.5, 0.3, 0.2

Résultats

Somme des probabilités1
Nombre de valeurs3

Visualisation

Probabilité 0

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Mathématiques

Calculateur d'espérance mathématique

Calculez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une loi de probabilité discrète à partir des valeurs et probabilités séparées par des virgules.

Données

Valeurs et probabilités

Résultats

Détails

Formules

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} p_i \cdot x_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{?} \\ &= ? \end{aligned}

Distribution de probabilité

Probabilité 0

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Définition de l'espérance mathématique

L'espérance mathématique E[X] d'une variable aléatoire discrète est la moyenne pondérée de toutes ses valeurs possibles, chacune affectée du coefficient de sa probabilité. Pour une loi discrète de valeurs x₁, x₂, …, xₙ associées aux probabilités p₁, p₂, …, pₙ, la formule est :

E[X]=∑ipi⋅xiE[X] = \sum_{i} p_i \cdot x_i

L'espérance répond à la question suivante : si l'expérience était répétée un très grand nombre de fois de manière indépendante, quelle serait la valeur moyenne observée ? La loi des grands nombres garantit que la moyenne empirique converge vers E[X] à mesure que le nombre d'essais augmente.

Formule et exemple de calcul

Soit un jeu à trois issues :

ValeurProbabilité
+100,50
−50,30
+200,20

Espérance mathématique :

E[X]=10×0,50+(−5)×0,30+20×0,20=5,00−1,50+4,00=7,50E[X] = 10 \times 0{,}50 + (-5) \times 0{,}30 + 20 \times 0{,}20 = 5{,}00 - 1{,}50 + 4{,}00 = 7{,}50

Sur un grand nombre de parties, le gain moyen converge vers 7,50 par essai. Un opérateur proposant ce jeu perdrait de l'argent à long terme.

Variance : elle mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, exprimée en unités au carré :

σ2=∑ipi⋅(xi−E[X])2\sigma^2 = \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2

Pour l'exemple ci-dessus :

σ2=0,50×(10−7,5)2+0,30×(−5−7,5)2+0,20×(20−7,5)2\sigma^2 = 0{,}50 \times (10 - 7{,}5)^2 + 0{,}30 \times (-5 - 7{,}5)^2 + 0{,}20 \times (20 - 7{,}5)^2 =0,50×6,25+0,30×156,25+0,20×156,25=81,25= 0{,}50 \times 6{,}25 + 0{,}30 \times 156{,}25 + 0{,}20 \times 156{,}25 = 81{,}25

Écart type : σ = √81,25 ≈ 9,01. Il s'exprime dans les mêmes unités que les valeurs d'origine et représente l'écart typique d'un résultat isolé par rapport à l'espérance.

Variance et espérance : deux mesures complémentaires

Deux distributions peuvent partager la même espérance tout en différant profondément par leur variance. Une obligation remboursant 100 € avec certitude (E[X] = 100, σ = 0) et une loterie versant 200 € avec une probabilité de 0,5 et 0 € sinon (E[X] = 100, σ = 100) présentent la même espérance mais des profils de risque radicalement différents. Toute analyse rationnelle sous incertitude doit prendre en compte les deux paramètres.

Jeu équitable et jeu favorable

Un jeu équitable (ou jeu à somme nulle) est un jeu pour lequel E[X] = 0 : le gain espéré est nul. L'opérateur et le joueur ne réalisent ni gain ni perte systématique à long terme. La plupart des jeux d'argent sont conçus de façon à ce que E[X] < 0 pour le joueur, assurant ainsi une marge structurelle à l'exploitant. Un jeu pour lequel E[X] > 0 est dit favorable au joueur.

Loi des grands nombres

La loi forte des grands nombres établit que, pour des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'espérance finie, la moyenne empirique converge presque sûrement vers E[X] quand le nombre d'observations tend vers l'infini. Ce résultat fonde la tarification en assurance, les modèles de valorisation financière et toute planification à long terme reposant sur la répétition d'événements.

Il est essentiel de noter que cette loi ne porte que sur la limite asymptotique, et non sur les résultats à court terme. Un jeu d'espérance E[X] = +5 peut produire une série de résultats négatifs sur plusieurs dizaines de parties consécutives. L'écart type quantifie précisément cette incertitude à court terme : environ 68 % des résultats individuels se trouvent à moins d'un σ de E[X], et environ 95 % à moins de deux σ.

Utilisation du calculateur

Saisissez les valeurs et les probabilités correspondantes sous forme de listes séparées par des virgules. Les deux listes doivent contenir le même nombre d'éléments. Les probabilités doivent être positives ou nulles et leur somme doit être égale à 1 ; le calculateur signale un avertissement si cet écart dépasse 0,001. Les valeurs peuvent être des nombres réels quelconques, y compris des valeurs négatives.

Le graphique de distribution représente sous forme de barres la probabilité associée à chaque valeur, ce qui permet de visualiser immédiatement la répartition de la masse de probabilité.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que l'espérance mathématique ?

L'espérance mathématique E[X] est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire, chacune multipliée par sa probabilité. Par exemple, un jeu qui rapporte 10 € avec une probabilité de 0,5 et fait perdre 5 € avec une probabilité de 0,5 a une espérance de E[X] = 10 × 0,5 + (−5) × 0,5 = 2,50 €. Sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des résultats converge vers cette valeur. L'espérance est au cœur de l'analyse du risque, de la tarification en assurance et de la théorie des jeux.

Faut-il saisir toute opportunité dont l'espérance est positive ?

Une espérance positive est une condition nécessaire mais pas suffisante pour agir. La variance entre également en jeu : un pari d'espérance E[X] = 1 € mais avec 10 % de chances de tout perdre présente un risque majeur malgré une espérance favorable. La théorie de l'utilité, notamment le principe d'utilité marginale décroissante de la richesse, explique pourquoi des agents rationnels peuvent refuser certains paris à espérance positive. En pratique, une espérance positive est un signal fort lorsque les enjeux sont faibles par rapport aux ressources totales et que l'opportunité peut être répétée de nombreuses fois.

Pourquoi l'espérance mathématique ne prédit-elle pas les résultats à court terme ?

L'espérance décrit la moyenne sur un grand nombre d'essais indépendants, et non le résultat d'un essai isolé. La loi des grands nombres garantit que la moyenne empirique converge vers E[X] quand le nombre d'essais augmente — mais sur un petit nombre d'essais, les résultats réels peuvent s'écarter sensiblement de l'espérance. Une pièce de monnaie qui rapporte 10 € sur face et 0 € sur pile a une espérance de 5 € par lancer, mais en 10 lancers on peut obtenir 30 € ou 80 €. L'écart type (σ) quantifie cette incertitude à court terme.

Que se passe-t-il si la somme des probabilités est différente de 1 ?

Une loi de probabilité discrète valide exige que toutes les probabilités soient positives ou nulles et que leur somme soit exactement 1. Si la somme est inférieure à 1, le modèle est incomplet : certaines valeurs ou leurs probabilités ne sont pas prises en compte. Si elle dépasse 1, le modèle est incohérent. Dans les deux cas, le calcul de l'espérance reste valide en tant que résultat arithmétique, mais il ne représente pas l'espérance d'une variable aléatoire bien définie. Ce calculateur signale un avertissement lorsque la somme s'écarte de 1 de plus de 0,001.

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