Dernière mise à jour : 2026-05-19

Définition de la longueur d'arc

La longueur d'arc est la distance mesurée le long d'un arc de cercle entre deux points. Elle dépend de deux grandeurs : le rayon r du cercle et l'angle au centre θ que subtend l'arc. Ce concept est omniprésent en géométrie, ingénierie, architecture et dans les programmes de mathématiques du secondaire.

Ce calculateur détermine trois valeurs à partir de r et θ :

• Longueur d'arc s — distance courbe le long de la circonférence
• Longueur de corde c — distance en ligne droite entre les deux extrémités
• Fraction du périmètre f — quelle part du cercle entier l'arc représente

La formule de la longueur d'arc

$s = r \cdot \theta$

θ doit être exprimé en radians. La formule découle directement de la définition du radian : un radian est l'angle qui subtend un arc égal en longueur au rayon.

Origine de la formule

Le périmètre complet vaut 2πr (pour θ = 2π radians). La fraction θ/(2π) du cercle donne :

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

La sortie « Fraction du périmètre » f = θ/(2π) se déduit de cette relation.

Angles en degrés

Les angles sont souvent exprimés en degrés. La conversion en radians est :

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$

On peut aussi utiliser directement :

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{deg}}}{360}$

Exemple : r = 8 m, θ = 135°

• Conversion : 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2,356 rad
• Longueur d'arc : s = 8 × 2,356 ≈ 18,85 m
• Fraction : 135/360 = 0,375 (trois huitièmes du cercle)

Ce calculateur accepte les degrés directement, sans conversion manuelle.

Longueur de corde

La corde est la droite reliant les deux extrémités de l'arc et est toujours plus courte que lui :

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Exemple : r = 10 m, θ = 90° (π/2 rad)

Grandeur	Formule	Valeur
Longueur d'arc s	10 × π/2	≈ 15,71 m
Longueur de corde c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14,14 m
Fraction f	90 / 360	= 0,25

L'arc est environ 11 % plus long que la corde dans ce cas.

Angles remarquables

Angle au centre	Longueur d'arc	Longueur de corde	Particularité
60°	πr/3	r	Corde = rayon (triangle équilatéral)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	Quart de cercle
180°	πr	2r	Corde = diamètre
360°	2πr	0	Périmètre entier ; extrémités confondues

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer la longueur d'un arc de cercle ?

La longueur d'arc s se calcule avec s = r · θ, où θ est exprimé en radians. Pour un rayon de 5 m et un angle de 2 radians, s = 5 × 2 = 10 m. La formule découle directement de la définition du radian : un radian est l'angle qui sous-tend un arc égal au rayon. Si l'angle est en degrés, convertissez d'abord : θ_rad = θ_deg × π / 180.

Comment calculer la longueur d'arc à partir d'un angle en degrés ?

Utilisez s = 2πr × (θ° / 360), équivalent à convertir d'abord en radians. Exemple : r = 10 m, θ = 90° → s = 2π × 10 × 0,25 = 5π ≈ 15,71 m. Ce calculateur accepte les degrés directement, sans conversion manuelle.

Quelle est la différence entre longueur d'arc et longueur de corde ?

La longueur d'arc s = r · θ est la distance courbe le long du cercle ; la corde c = 2r · sin(θ/2) est la droite reliant les deux extrémités. La corde est toujours inférieure ou égale à l'arc. Pour r = 10 m et θ = 90° : arc ≈ 15,71 m, corde = 10√2 ≈ 14,14 m. À θ = 180°, la corde est égale au diamètre 2r.

Quel est le lien entre longueur d'arc et circonférence ?

La circonférence C = 2πr est la longueur d'arc du cercle complet (θ = 2π radians = 360°). Tout arc représente une fraction du périmètre : s = C × (θ / 2π). La sortie 'Fraction du périmètre' f = θ / 2π l'indique directement : f = 0,25 correspond à un quart de cercle.