Dernière mise à jour : 2026-05-20

La complétion du carré

La mise en forme canonique (ou complétion du carré) transforme une expression du second degré $ax^2 + bx + c$ en forme canonique $a(x - h)^2 + k$, où $(h, k)$ est le sommet de la parabole. Le calculateur affiche les étapes intermédiaires du calcul.

Méthode de complétion du carré

On part de $ax^2 + bx + c$.

Étape 1 — Calculer h (abscisse du sommet) :

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Étape 2 — Calculer k (ordonnée du sommet) :

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Étape 3 — Écrire la forme canonique :

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

Démonstration

On factorise $a$ devant les deux premiers termes, puis on introduit le carré parfait :

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

Le terme $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ est ajouté à l'intérieur du facteur (ce qui revient à ajouter $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$ à l'expression globale) et immédiatement soustrait à l'extérieur, pour ne pas modifier la valeur de l'expression. En posant $h = -\frac{b}{2a}$ et $k = c - \frac{b^2}{4a}$, on obtient $a(x - h)^2 + k$.

Exemple développé

Mettons sous forme canonique $x^2 - 6x + 11$.

Ici $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$.

$$h = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \times 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

Vérification : $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

Le sommet est $(3,, 2)$, l'axe de symétrie est la droite $x = 3$, et la valeur minimale est $2$.

Propriétés du sommet

Propriété	Valeur
Sommet	$(h,\, k)$
Axe de symétrie	$x = h$
Minimum (si $a > 0$)	$y = k$ atteint en $x = h$
Maximum (si $a < 0$)	$y = k$ atteint en $x = h$

Lorsque $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (forme en U) et le sommet est le point le plus bas de la courbe. Lorsque $a < 0$, elle est ouverte vers le bas (forme en ∩) et le sommet est le point le plus haut. La valeur absolue $|a|$ gouverne l'ouverture : plus $|a|$ est grand, plus la parabole est étroite ; plus $|a|$ est petit, plus elle est large.

Lien avec la formule du discriminant

La complétion du carré permet aussi de retrouver la formule classique de résolution d'une équation du second degré. On pose $ax^2 + bx + c = 0$, on passe en forme canonique et on isole $x$ :

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

En substituant $h = -\frac{b}{2a}$ et $k = c - \frac{b^2}{4a}$ et en simplifiant, on obtient :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

L'expression $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant. La complétion du carré en est la démonstration directe : cette formule n'est pas un résultat tombé du ciel, mais la conséquence naturelle de la mise en forme canonique.

Applications

• Trouver le sommet d'une parabole sans tracer la courbe.
• Résoudre une équation du second degré quand la factorisation n'est pas évidente.
• Démontrer la formule du discriminant à partir de la définition.
• Analyser des phénomènes paraboliques en physique ou en ingénierie (trajectoires, optique, antennes).
• Calcul intégral — reconnaître la forme canonique simplifie l'intégration de certaines fractions rationnelles.

Questions fréquentes (FAQ)

À quoi sert la mise en forme canonique ?

La mise en forme canonique transforme ax² + bx + c en a(x − h)² + k, où le sommet (h, k) se lit directement. On obtient ainsi le minimum ou le maximum de la parabole sans recourir à la dérivée. C'est aussi la méthode qui permet de démontrer la formule du discriminant et de tracer rapidement la courbe, puisque l'axe de symétrie (x = h) et la valeur extrémale (y = k) apparaissent immédiatement.

Quel lien y a-t-il entre la forme canonique et la formule du discriminant ?

La formule ax² + bx + c = 0 se traite en complétant le carré : on divise par a pour obtenir x² + (b/a)x + c/a = 0, puis on ajoute et soustrait (b/(2a))² pour former un carré parfait. On obtient (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). En prenant la racine carrée des deux membres et en isolant x, on retrouve x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) — c'est la formule usuelle avec le discriminant Δ = b² − 4ac.

Que représentent les coordonnées du sommet (h, k) ?

Le sommet est le point de la parabole où la tangente est horizontale. Lorsque a > 0, la parabole est tournée vers le haut et le sommet est le minimum : la valeur la plus petite de ax² + bx + c est k, atteinte pour x = h. Lorsque a < 0, la parabole est tournée vers le bas et (h, k) est le maximum. L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation x = h : la courbe est symétrique par rapport à cette droite.

Comment le signe de a influe-t-il sur la forme de la parabole ?

Si a > 0, la parabole est en forme de U (ouverte vers le haut) et admet un minimum en son sommet. Si a < 0, elle est en forme de ∩ (ouverte vers le bas) et admet un maximum. La valeur absolue |a| détermine l'ouverture de la parabole : plus |a| est grand, plus la courbe est étroite ; plus |a| est petit, plus elle est large. Si a = 0, l'expression devient une droite affine et la notion de compléter le carré n'est pas définie.