Dernière mise à jour : 2026-05-22

Définition

Le coefficient de corrélation de Pearson, noté r, est un indice sans dimension compris entre −1 et +1 qui mesure la force et le sens de la liaison linéaire entre deux variables numériques. Une valeur de +1 indique une liaison positive parfaite, −1 une liaison négative parfaite, et 0 l'absence de tendance linéaire.

La formule

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

Le numérateur est la somme des produits des écarts : il mesure si X et Y tendent à s'éloigner de leurs moyennes dans le même sens (produit positif) ou en sens opposé (produit négatif). Le dénominateur normalise par la dispersion totale de chaque variable, de sorte que r se situe toujours entre −1 et +1, indépendamment des unités de X et de Y.

Exemple de calcul

Avec les données par défaut : X = [1, 2, 3, 4, 5] et Y = [2, 4, 5, 4, 5].

Étape 1 — Calcul des moyennes.

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

Étape 2 — Calcul des écarts et des produits croisés.

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		Σ			6	10	6

Étape 3 — Application de la formule.

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$

$r^2 = (0{,}7746)^2 \approx 0{,}60$

Interprétation : r ≈ 0,77 — corrélation forte et positive. Environ 60 % de la variance de Y est expliquée par la relation linéaire avec X.

Comment interpréter r

Valeur de r	Interprétation
+1,0	Liaison positive parfaite
+0,7 à +0,99	Forte positive
+0,3 à +0,69	Modérée positive
−0,29 à +0,29	Faible ou absence de liaison linéaire
−0,3 à −0,69	Modérée négative
−0,7 à −0,99	Forte négative
−1,0	Liaison négative parfaite

Ces seuils sont des repères, non des règles absolues. En épidémiologie, r = 0,3 peut avoir une signification pratique importante ; en ingénierie de précision, r < 0,99 peut indiquer un bruit inacceptable.

r versus r²

r et r² répondent à des questions différentes :

• r indique la direction et l'intensité de la liaison linéaire. Une valeur de −0,9 est aussi forte que +0,9 ; le signe indique le sens de la relation.
• r² (coefficient de détermination) indique la proportion de la variance de Y expliquée par X. Il est compris entre 0 et 1, sans signe. r² = 0,64 signifie que 64 % de la dispersion de Y est attribuable à la tendance linéaire avec X.

Pour évaluer la force de l'ajustement linéaire, r est le bon indicateur. Pour quantifier la part de variabilité de Y attribuable à X, r² est plus parlant.

Corrélation et causalité

Un r élevé signifie uniquement que X et Y covarient linéairement — il ne dit rien sur le pourquoi. Quelques exemples classiques :

• Les ventes de glaces et les noyades atteignent toutes deux leur pic en été (cause commune : la chaleur).
• La pointure et les résultats scolaires sont positivement corrélés chez les enfants (cause commune : l'âge).
• Les pays disposant de plus de téléviseurs par foyer affichent une espérance de vie plus élevée (les deux reflètent le niveau de richesse).

Établir une causalité requiert une expérience contrôlée, l'élimination des facteurs confondants et la démonstration que la cause précède l'effet dans le temps.

Limites et alternatives

Le coefficient de Pearson suppose :

1. Les deux variables sont continues (échelle d'intervalles ou de rapports).
2. La relation est approximativement linéaire.
3. Aucune valeur aberrante extrême ne domine le calcul.

Quand ces conditions ne sont pas remplies, la corrélation des rangs de Spearman constitue une alternative robuste : elle convertit les deux séries en rangs, puis calcule le r de Pearson sur ces rangs. Spearman gère bien les données ordinales, les relations monotones mais courbées et les jeux de données contenant des valeurs atypiques. En pratique : si le nuage de points montre une tendance régulière mais clairement courbée, ou si un ou deux points s'isolent nettement du reste, Spearman est le choix le plus sûr.

Questions fréquentes (FAQ)

Que signifie un coefficient r = 0,7 ?

Un r de 0,7 indique une liaison linéaire positive forte entre X et Y : quand X augmente, Y tend à augmenter aussi, et les points restent relativement proches d'une droite.

En pratique, on considère généralement |r| ≥ 0,7 comme une corrélation forte, 0,3 ≤ |r| < 0,7 comme modérée, et |r| < 0,3 comme faible — mais ces seuils varient selon les disciplines. En sciences sociales, r = 0,5 peut déjà être jugé fort ; en physique ou en ingénierie, r < 0,99 peut signaler un bruit important.

Une corrélation élevée prouve-t-elle la causalité ?

Non. Un r élevé signifie seulement que X et Y évoluent ensemble de façon linéaire, sans expliquer pourquoi. Une troisième variable (facteur confondant) peut influencer les deux simultanément. Par exemple, les ventes de glaces et les noyades augmentent toutes deux en été, en raison de la chaleur — et non parce que les glaces causeraient des noyades.

Établir une relation causale nécessite une expérience contrôlée, un ordre temporel (la cause précède l'effet) et l'exclusion des facteurs confondants. La corrélation est un indice de relation, pas une preuve de mécanisme.

Quelle est la différence entre r et r² ?

r (coefficient de Pearson) mesure la direction et l'intensité de la liaison linéaire : il varie de −1 (liaison négative parfaite) à +1 (liaison positive parfaite). r² (coefficient de détermination) indique la proportion de la variance de Y expliquée par X.

Par exemple, r = 0,8 donne r² = 0,64 : 64 % de la variabilité de Y est attribuable à la relation linéaire avec X. r² est toujours positif ou nul et s'interprète facilement comme un pourcentage, mais il perd l'information de signe — impossible de savoir si la liaison est positive ou négative à partir de r² seul.

Quand faut-il utiliser Spearman plutôt que Pearson ?

Privilégiez la corrélation des rangs de Spearman quand vos données sont ordinales (catégories classées), quand la relation entre X et Y est monotone mais non linéaire, ou quand les données contiennent des valeurs aberrantes importantes. Spearman convertit d'abord les valeurs en rangs, ce qui le rend robuste aux valeurs extrêmes et aux tendances non linéaires mais régulières.

Pearson est optimal quand les deux variables sont continues, approximativement normalement distribuées, et que la relation sous-jacente est linéaire. En pratique : si un nuage de points montre une courbe régulière, ou si quelques points isolés tirent fortement le coefficient vers eux, optez pour Spearman.