Dernière mise à jour : 2026-06-04

La loi géométrique est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes nécessaires pour obtenir le premier succès. Chaque épreuve partage la même probabilité de succès $p$ et est indépendante de toutes les autres. Ce modèle est omniprésent en analyse de fiabilité, en contrôle de qualité, en théorie des files d'attente et dans tout processus où l'on répète des tentatives jusqu'à atteindre un résultat cible.

Formules

Ce calculateur adopte la convention « essais jusqu'au premier succès » : $X$ désigne le numéro de l'essai auquel survient le premier succès, donc $X \geq 1$. La fonction de masse (loi ponctuelle) et la fonction de répartition sont :

L'espérance et la variance de $X$ sous cette convention valent :

Une seconde convention, parfois rencontrée en combinatoire, définit $X$ comme le nombre d'échecs avant le premier succès ($X \geq 0$). La fonction de masse devient $P(X = k) = (1-p)^k \cdot p$, l'espérance est $(1-p)/p$ et la variance reste identique. Ce calculateur n'utilise pas cette convention.

Pourquoi la formule a-t-elle cette forme ?

Pour que le premier succès survienne exactement à l'essai $k$ :

1. Les essais 1 à $k-1$ doivent tous échouer. Chacun échoue avec la probabilité $1-p$, et les épreuves étant indépendantes, la probabilité de $k-1$ échecs consécutifs est $(1-p)^{k-1}$.
2. L'essai $k$ doit réussir, ce qui se produit avec la probabilité $p$.

Le produit de ces probabilités indépendantes donne $(1-p)^{k-1} \cdot p$.

La fonction de répartition s'obtient par complémentation : la seule façon que $P(X \leq k)$ ne soit pas réalisée est que les $k$ épreuves échouent toutes, ce qui a la probabilité $(1-p)^k$. D'où $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$.

Exemple de calcul

Un commercial conclut un contrat lors d'environ 30 % de ses appels clients, indépendamment d'un appel à l'autre. Quelle est la probabilité que le premier contrat soit signé exactement lors du troisième appel ?

Avec $p = 0{,}30$ et $k = 3$ :

Il y a 14,7 % de chances que le troisième appel produise le premier contrat. La probabilité cumulée de signer dans les trois premiers appels est :

Il y a donc 65,7 % de chances que le premier succès survienne avant ou au troisième essai. Le nombre moyen d'appels nécessaires est $\mu = 1/0{,}30 \approx 3{,}33$.

Propriété sans mémoire

La loi géométrique est l'unique loi de probabilité discrète dotée de la propriété sans mémoire : si le premier succès n'est pas encore survenu après $m$ essais, la durée d'attente restante suit exactement la même loi géométrique que la loi initiale. Formellement, $P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$. Cette propriété confère à la loi géométrique une grande maniabilité analytique en théorie des files d'attente et lors de tests séquentiels.

Lien avec d'autres lois

La loi géométrique est un cas particulier de la loi binomiale négative avec $r = 1$ succès requis. Plus généralement, la somme de $r$ variables aléatoires géométriques indépendantes suit une loi binomiale négative, qui donne le nombre d'essais nécessaires pour obtenir $r$ succès.

Lorsque la probabilité de succès $p$ est faible et le nombre d'essais $n$ grand, le nombre de succès enregistrés lors de $n$ séries géométriques est approximativement distribué selon une loi Calculateur de Probabilité Binomiale.

Applications pratiques

• Centres d'appels et vente : estimation du nombre moyen de contacts nécessaires avant une conversion.
• Contrôle de qualité : modélisation du nombre de pièces inspectées avant de trouver le premier article défectueux.
• Retransmissions réseau : analyse du nombre de tentatives d'émission avant qu'un paquet soit reçu sans erreur.
• Essais cliniques : calcul du nombre espéré de patients à sélectionner avant d'enrôler le premier participant répondant aux critères d'inclusion.