Dernière mise à jour : 2026-06-04

Définition

La moyenne géométrique de n nombres positifs x₁, x₂, …, xₙ est la racine n-ième de leur produit :

$G = \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}$

Une formulation équivalente, numériquement plus stable, passe par les logarithmes :

$G = \exp\!\left(\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}\right)$

Les deux expressions donnent le même résultat. La forme logarithmique évite les dépassements de capacité (overflow) lorsque le produit de nombreuses valeurs dépasse la plage des nombres à virgule flottante — ce calculateur l'utilise en interne.

Pourquoi utiliser la moyenne géométrique ?

La moyenne géométrique est l'outil adapté lorsque les quantités se combinent par multiplication plutôt que par addition. Les principaux contextes d'application sont les suivants.

Facteurs de croissance et rendements financiers. Soit un placement qui progresse de 20 % la première année et recule de 10 % la deuxième. Les facteurs de croissance sont 1,20 et 0,90. La moyenne arithmétique de ces facteurs vaut 1,05, ce qui laisserait supposer un gain constant de 5 % par an. Or le résultat réel sur deux ans est 1,20 × 0,90 = 1,08, soit un gain total de 8 %, équivalent à un taux annuel constant de √1,08 ≈ 1,039, c'est-à-dire environ 3,9 %. La moyenne géométrique de 1,20 et 0,90 donne précisément cette valeur de 3,9 % — la moyenne arithmétique est ici trompeuse.

Indices de prix et rapports. Lorsque l'on calcule la moyenne de rapports ou de valeurs d'indices provenant de catégories aux unités de base différentes, la moyenne géométrique pondère chaque terme selon la même structure multiplicative, sans que les valeurs absolues les plus élevées dominent le résultat.

Données à distribution log-normale. Les grandeurs couvrant plusieurs ordres de magnitude — concentrations microbiennes, magnitudes sismiques, distributions de revenus — sont souvent mieux résumées par la moyenne géométrique, car elle correspond à la médiane de la distribution log-normale sous-jacente.

Exemple de calcul

Trois rendements annuels successifs sont de 12 %, −8 % et 24 %. Convertis en facteurs de croissance : 1,12 ; 0,92 ; 1,24.

• Produit : 1,12 × 0,92 × 1,24 ≈ 1,2782
• Moyenne géométrique : 1,2782^(1/3) ≈ 1,0854
• Taux annuel constant équivalent : 8,54 %
• Moyenne arithmétique des facteurs : (1,12 + 0,92 + 1,24) / 3 ≈ 1,0933, soit 9,33 %

La moyenne arithmétique surestime le taux soutenable, car elle ne tient pas compte de l'interaction par composition entre les gains et les pertes. Après trois ans au taux géométrique de 8,54 %, un placement initial de 1 000 € devient 1 000 × 1,2782 ≈ 1 278 € — résultat qui coïncide exactement avec l'évolution réelle.

L'inégalité arithmético-géométrique

Pour tout ensemble de nombres positifs, la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique :

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \mathbin{/} n \;\ge\; \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}$

L'égalité n'est atteinte que lorsque toutes les valeurs sont identiques. L'écart entre les deux moyennes croît avec la dispersion des données — il constitue un indicateur de la variabilité multiplicative de l'ensemble.

Une interprétation géométrique classique de cette inégalité : parmi tous les rectangles de périmètre fixé, c'est le carré (côtés égaux) qui possède l'aire maximale. L'aire d'un rectangle de côtés a et b est le produit ab, dont la racine carrée est la moyenne géométrique de a et b ; cette aire est maximale quand a = b, ce qui correspond à l'égalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique.

Calcul par les logarithmes et stabilité numérique

Le calcul direct du produit de nombreuses valeurs peut provoquer un dépassement de capacité même pour des ensembles de taille modeste. En prenant le logarithme naturel de chaque valeur, en calculant la moyenne de ces logarithmes, puis en appliquant l'exponentielle, on contourne le problème :

$G = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$

La transformation logarithmique convertit la multiplication en addition et l'exponentiation en multiplication scalaire ; toutes les valeurs intermédiaires restent dans un intervalle numériquement sûr.

Relation avec les autres moyennes pythagoriciennes

La moyenne géométrique fait partie des trois moyennes pythagoriciennes :

• Moyenne arithmétique (MA) : minimise la somme des carrés des écarts — sensible aux valeurs extrêmes.
• Moyenne géométrique (MG) : minimise la somme des carrés des écarts en espace logarithmique — adaptée aux données multiplicatives.
• Moyenne harmonique (MH) : réciproque de la moyenne des réciproques — appropriée aux vitesses et aux taux.

Pour des données positives, l'ordre MH ≤ MG ≤ MA est toujours vérifié. Ce calculateur affiche à la fois MG et MA pour permettre leur comparaison directe.

Calculateurs associés

• Calculatrice Moyenne, Médiane et Mode — moyenne arithmétique, médiane, mode et étendue
• la Calculatrice de Moyenne Pondérée — moyenne pondérée avec des poids par valeur
• Calculatrice de variance et d'écart type — variance et écart type d'un ensemble de données
• Calculateur de statistiques descriptives — statistiques descriptives complètes, dont l'asymétrie et l'aplatissement