Dernière mise à jour : 2026-05-22

Définition

La factorielle d'un entier non négatif $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à $n$ :

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Quelques valeurs à connaître :

n	n!
0	1 (par définition)
1	1
5	120
10	3 628 800
20	2 432 902 008 176 640 000

Convention 0! = 1

$0! = 1$ découle de la relation de récurrence $n! = n \times (n-1)!$ : en posant $n = 1$, on obtient $1! = 1 \times 0!$, ce qui impose $0! = 1$. Intuitivement, il n'y a qu'une seule façon d'arranger zéro objet : ne rien faire. Cette convention garantit que les formules de permutations et de combinaisons restent valides aux cas limites.

Croissance super-exponentielle

Les factorielles croissent plus vite que toute fonction exponentielle. Dès $n = 13$, le résultat dépasse 6 milliards ($13! = 6,227,020,800$), et pour $n = 20$, il compte 19 chiffres. C'est pourquoi cette calculatrice est limitée à $n \leq 20$.

L'approximation de Stirling donne une bonne estimation pour les grandes valeurs de $n$ :

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Applications

Dénombrer les arrangements. Le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts en une ligne est exactement $n!$. Cinq livres peuvent être rangés en $5! = 120$ ordres différents.

Permutations et combinaisons. Les deux formules sont construites à partir de factorielles :

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Probabilités. Les factorielles apparaissent dans la loi binomiale, la loi de Poisson et partout où l'on calcule des probabilités discrètes sur des résultats ordonnés.

Analyse. Les séries de Taylor utilisent les factorielles au dénominateur pour contrôler la croissance des termes successifs. La série exponentielle s'écrit $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

Remarques pratiques

Résultats entiers exacts. Pour $n \leq 20$, la calculatrice renvoie la valeur exacte, sans arrondi.

Permutations et combinaisons. La Calculatrice de permutations — P(n, r) calcule $P(n, r)$ et la Calculatrice de combinaisons — C(n, r) calcule $C(n, r)$ directement, sans avoir à calculer les factorielles séparément.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'une factorielle ?

La factorielle d'un entier non négatif n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1. Les factorielles croissent très vite : 20! dépasse déjà 2,4 × 10¹⁸.

Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?

0! = 1 découle de la récurrence n! = n × (n−1)! : en posant n = 1, on obtient 1! = 1 × 0!, ce qui impose 0! = 1. Intuitivement, il n'y a qu'une seule façon d'arranger zéro objet : ne rien faire. Cette convention garantit que les formules de permutations et de combinaisons restent valides aux cas limites.

Dans quels domaines utilise-t-on les factorielles ?

Les factorielles interviennent en combinatoire (permutations et combinaisons), en probabilités (coefficients binomiaux), en analyse (séries de Taylor comme eˣ = Σ xⁿ/n!) et en arithmétique. Dès qu'on dénombre les arrangements ordonnés d'objets distincts, une factorielle entre en jeu.