Dernière mise à jour : 2026-06-23

Ce que fait ce calculateur

Ce calculateur détermine la marge d'erreur lors de l'estimation d'une moyenne de population à partir d'un échantillon, ainsi que l'intervalle de confiance qui entoure la moyenne de l'échantillon. Indiquez le niveau de confiance, l'écart-type, la taille de l'échantillon et la moyenne observée.

Ce qu'est une marge d'erreur

Lorsqu'un sondage, une enquête ou une expérience estime une moyenne à partir d'un échantillon, l'estimation n'est jamais exacte : un autre échantillon aléatoire donnerait une moyenne légèrement différente. La marge d'erreur quantifie cette incertitude d'échantillonnage. C'est le « plus ou moins » indiqué à côté de résultats tels que « satisfaction moyenne de 7,2 sur 10, ±0,3 ». Formellement, c'est la demi-largeur d'un intervalle de confiance : la distance entre la moyenne de l'échantillon et l'une ou l'autre extrémité de l'intervalle.

La formule

Pour une moyenne de population dont l'écart-type est connu (ou bien estimé), la marge d'erreur s'écrit :

• E — la marge d'erreur (la demi-largeur de l'intervalle)
• z — la valeur critique de la loi normale centrée réduite, fixée par le niveau de confiance (1,645 pour 90 %, 1,96 pour 95 %, 2,576 pour 99 %)
• σ — l'écart-type des données
• n — la taille de l'échantillon

Le terme $\sigma/\sqrt{n}$ est l'erreur-type de la moyenne : l'écart-type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne. En le multipliant par la valeur critique, on le met à l'échelle du niveau de confiance souhaité.

L'intervalle de confiance est alors la moyenne de l'échantillon plus ou moins cette marge :

Ainsi, une moyenne d'échantillon $\bar{x}$ assortie d'une marge d'erreur $E$ donne l'intervalle allant de $\bar{x} - E$ à $\bar{x} + E$. Au niveau de confiance de 95 %, cela signifie que, si l'étude était répétée de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles construits de cette manière contiendraient la vraie moyenne de population.

Pourquoi la marge décroît en √n

Comme la taille de l'échantillon intervient dans la formule sous une racine carrée, la marge d'erreur décroît proportionnellement à $1/\sqrt{n}$ plutôt qu'à l'inverse de $n$ lui-même. Il en résulte des rendements décroissants :

Pour diviser la marge d'erreur par deux, il faut quadrupler l'échantillon. Cette loi en racine carrée explique pourquoi les grandes enquêtes nationales affichent encore des marges de quelques points de pourcentage, et pourquoi chaque unité de précision supplémentaire devient progressivement plus coûteuse à obtenir.

Exemple résolu

Supposons qu'un échantillon de taille 100 ait un écart-type de 15 et une moyenne de 50, et que l'on souhaite un intervalle de confiance à 95 %. La valeur critique est 1,96 :

La marge d'erreur est de ±2,94, et l'intervalle de confiance à 95 % s'étend de 47,06 à 52,94. On peut le lire ainsi : d'après cet échantillon, la moyenne de population se situe vraisemblablement quelque part dans cette plage.

Lorsque σ est inconnu ou n petit

La formule ci-dessus suppose que l'écart-type de la population σ est connu, ou que l'échantillon est assez grand pour que l'écart-type d'échantillon s en soit un substitut fiable. Une règle générale courante est $n \geq 30$.

Lorsque σ est inconnu et que l'échantillon est petit, on remplace la valeur critique de la loi normale par celle de la loi de Student (t), dont les queues plus épaisses tiennent compte de l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de σ à partir des données :

La valeur t dépend du nombre de degrés de liberté, soit un de moins que la taille de l'échantillon, et reste toujours légèrement supérieure à la valeur z correspondante : elle élargit donc l'intervalle. À mesure que n augmente, la valeur t reconverge vers z.

Marge d'erreur d'une proportion

Ce calculateur traite la marge d'erreur d'une moyenne. Pour une proportion — par exemple la part des personnes ayant répondu « oui » — l'erreur-type est différente, et la marge d'erreur devient :

où $p$ est la proportion observée dans l'échantillon. Cette expression est maximale lorsque $p$ vaut un demi, ce qui explique pourquoi les instituts de sondage rapportent souvent la marge « du pire cas », calculée à cette valeur.

Calculateurs liés

Le Calculateur d'Intervalle de Confiance construit l'intervalle complet autour de l'estimation et permet de travailler aussi bien avec des moyennes qu'avec des proportions. Pour planifier une étude et choisir n à l'avance afin d'atteindre une marge cible, le Calculateur de taille d'échantillon pour une moyenne inverse la formule et résout la taille d'échantillon nécessaire.