Dernière mise à jour : 2026-06-23

Pourquoi la taille d'échantillon compte pour une moyenne

Lorsqu'une enquête ou une expérience vise à estimer une moyenne — temps d'attente moyen, pression artérielle moyenne, dépense moyenne d'un ménage — la taille d'échantillon détermine la précision possible de cette estimation. Trop peu de sujets et l'intervalle de confiance est si large que le résultat n'apprend presque rien ; trop de sujets et l'étude gaspille temps et argent. Planifier la taille d'échantillon à l'avance fixe la précision visée avant même la première observation.

La taille d'échantillon nécessaire pour estimer une moyenne de population découle directement de la largeur d'un intervalle de confiance :

Chaque terme a une signification simple :

• $n$ — le nombre minimal d'observations nécessaire.
• $z$ — la valeur critique de la loi normale centrée réduite pour le niveau de confiance. Elle vaut 1,645 pour 90 %, 1,96 pour 95 % et 2,576 pour 99 %.
• $\sigma$ — l'écart-type de la population, une mesure de la dispersion des valeurs.
• $E$ — la marge d'erreur, la précision ± souhaitée autour de la moyenne estimée, dans la même unité que $\sigma$.

La précision se resserre avec le carré de la marge : diviser la marge d'erreur par deux quadruple l'échantillon. De même, doubler la dispersion $\sigma$ quadruple l'échantillon, et passer de 95 % à 99 % de confiance fait croître la valeur critique de 1,96 à 2,576, ce qui multiplie l'exigence par environ 1,7.

Obtenir une valeur pour σ

La formule a besoin de l'écart-type, or $\sigma$ n'est presque jamais connu avant le déroulement de l'étude. Trois estimations pratiques couvrent la plupart des cas :

• Étude pilote. Recueillir un petit lot d'observations et utiliser leur écart-type d'échantillon comme substitut de $\sigma$.
• Données antérieures. Reprendre l'écart-type indiqué dans des recherches plus anciennes ou des statistiques publiées pour une population comparable.
• Règle de l'étendue. Lorsque seules la plus petite et la plus grande valeurs plausibles sont connues, approcher $\sigma \approx (\text{max} - \text{min}) / 4$, puisque l'essentiel d'une étendue à peu près normale couvre environ quatre écarts-types.

Une estimation légèrement prudente (plus grande) est le choix sûr : elle pousse l'échantillon vers le haut plutôt que de laisser l'étude sous-dimensionnée.

Exemple résolu

Supposons que l'on veuille estimer une moyenne à ±2 unités près avec un niveau de confiance de 95 %, et que des données antérieures indiquent un écart-type d'environ 15. Avec une valeur critique de 1,96, $\sigma = 15$ et une marge d'erreur de 2 :

La formule exacte renvoie 216,09, mais on ne peut pas interroger une fraction de sujet, et un arrondi par défaut laisserait la marge légèrement plus large que demandé. Le résultat est toujours arrondi par excès — ici à 217 observations.

Quand z ne suffit pas

La formule ci-dessus utilise la valeur normale $z$, convention habituelle pour la planification de la taille d'échantillon. Deux réserves méritent d'être gardées à l'esprit.

Petits échantillons et σ inconnu. La valeur $z$ suppose un grand échantillon. Lorsque le jeu de données final est petit (environ moins de trente) et que $\sigma$ est estimé à partir des données, l'analyse elle-même doit utiliser la loi de Student $t$, plus large, à la place de $z$. Pour la planification, $z$ reste toutefois le point de départ usuel, car $n$ est encore inconnu ; dès que $n$ est grand, l'écart entre $z$ et $t$ devient négligeable.

Populations finies. La formule simple suppose un tirage dans une population effectivement infinie. Si l'échantillon représente une fraction importante d'une petite population finie de taille $N$, on applique la correction pour population finie, qui abaisse la taille requise :

Pour estimer une proportion plutôt qu'une moyenne, la formule de planification change de forme — voir le Calculateur de taille d'échantillon (proportion). Pour procéder en sens inverse et trouver la marge d'erreur correspondant à un échantillon déjà disponible, utiliser le Calculateur de marge d'erreur.