Dernière mise à jour : 2026-05-18

Triangle ACA — définition et méthode de résolution

Le cas ACA (Angle-Côté-Angle) correspond à la situation où l'on connaît un côté et les deux angles à ses extrémités. Comme la somme des angles intérieurs de tout triangle est toujours 180°, le troisième angle s'obtient par simple soustraction. La loi des sinus fournit ensuite les côtés restants, et sa forme étendue donne directement le rayon du cercle circonscrit.

Étape 1 : Trouver le troisième angle

$C = 180° - A - B$

Ce calcul ne nécessite aucune trigonométrie. Dès que deux angles sont connus, la forme du triangle est entièrement déterminée ; la longueur du côté en fixe l'échelle.

Étape 2 : Calculer les côtés inconnus avec la loi des sinus

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Avec le côté connu $c$ et l'angle dérivé $C$ :

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

Exemple numérique — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ :

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}766}{0{,}940} \approx 6{,}527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}866}{0{,}940} \approx 7{,}378$

Calcul de l'aire

L'aire peut être calculée directement à partir des données ACA, sans déterminer les côtés au préalable :

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

Cette formule évite les erreurs d'arrondi liées aux calculs intermédiaires.

Rayon du cercle circonscrit via la loi des sinus étendue

Le rapport commun de la loi des sinus est égal au diamètre du cercle circonscrit :

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

Pour l'exemple ci-dessus : $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4{,}257$.

Dans un triangle rectangle ($C = 90°$, $\sin 90° = 1$) : $R = c/2$ — le rayon est la moitié de l'hypoténuse, résultat classique découlant de la loi des sinus.

Rayon du cercle inscrit

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ACA et AAC : distinction géométrique

Les deux configurations déterminent le triangle de façon unique :

• ACA : le côté connu est entre les deux angles.
• AAC : le côté connu n'est pas entre les deux angles.

Numériquement, les deux cas se résolvent de façon identique : on calcule $C$, puis on applique la loi des sinus. La distinction intervient dans les preuves de congruence en géométrie, mais n'a aucune incidence sur le calcul numérique.

Cas ambigu et limites de la loi des sinus

Appliquée au cas CCA (deux côtés et un angle non compris), la loi des sinus peut produire deux triangles distincts satisfaisant les mêmes mesures : c'est le cas ambigu. Cette calculatrice travaille exclusivement avec la condition ACA — le côté connu étant adjacent aux deux angles — ce qui élimine toute ambiguïté.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment résoudre un triangle quand on connaît un côté et les deux angles adjacents ?

On commence par trouver le troisième angle : C = 180° − A − B. On applique ensuite la loi des sinus (a ÷ sin A = c ÷ sin C) pour calculer les côtés inconnus : a = c × sin A ÷ sin C et b = c × sin B ÷ sin C. Par exemple, avec c = 8, A = 50°, B = 60° : C = 70°, a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6,527 et b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7,378.

Qu'est-ce que la loi des sinus ?

La loi des sinus affirme que pour tout triangle : a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Ce rapport commun est égal au diamètre du cercle circonscrit. On utilise la loi des sinus quand on connaît un angle et le côté opposé (ACA ou AAC) ; pour deux côtés et un angle (CAC ou CCC), on préfère la loi des cosinus.

Quel est le lien entre le rayon du cercle circonscrit et la loi des sinus ?

La forme étendue de la loi des sinus donne directement R = c ÷ (2 sin C). Le rayon du cercle circonscrit est égal à n'importe quel côté divisé par le double du sinus de l'angle opposé. Pour un triangle rectangle (C = 90°), sin 90° = 1, donc R = c ÷ 2 : le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l'hypoténuse. Dans le cas ACA, on calcule R à partir du côté connu c et de l'angle dérivé C.

Quelle est la différence entre ACA et AAC ?

ACA (Angle-Côté-Angle) signifie que le côté connu est compris entre les deux angles connus. AAC (Angle-Angle-Côté) signifie que le côté connu n'est pas entre les deux angles. Les deux configurations déterminent le triangle de façon unique. Le calcul est identique une fois le troisième angle obtenu par C = 180° − A − B. La distinction est utile dans les démonstrations de congruence en géométrie, mais n'influence pas le calcul numérique.