Dernière mise à jour : 2026-05-18

Triangle CCC — trois côtés connus

Le cas CCC (côté-côté-côté) désigne la configuration dans laquelle les trois longueurs de côtés d'un triangle sont données. La loi des cosinus permet alors de déterminer tous les angles intérieurs, l'aire et les rayons des cercles circonscrit et inscrit, ce qui constitue une résolution complète du triangle.

La loi des cosinus

Pour un triangle de côtés $a$, $b$, $c$ et d'angles opposés $A$, $B$, $C$ :

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

D'où $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$. On répète pour $B$, puis $C = 180° - A - B$.

Exemple — le triangle 3-4-5 :

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°$

$B = \arccos\!\left(\frac{9 + 25 - 16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$

$C = 180° - 36{,}87° - 53{,}13° = 90°$

Inégalité triangulaire

Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle. Il faut que :

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Les longueurs 1, 2 et 10 ne forment pas de triangle car $1 + 2 = 3 < 10$.

Aire avec la formule de Héron

Une fois les côtés validés, l'aire se calcule sans passer par les angles. On commence par le demi-périmètre :

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Puis la formule de Héron :

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Pour le 3-4-5 : $s = 6$, donc $S = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$.

Rayon du cercle circonscrit et inscrit

Rayon circonscrit $R$ (cercle passant par les trois sommets) :

$R = \frac{abc}{4S}$

Rayon inscrit $r$ (cercle tangent aux trois côtés) :

$r = \frac{S}{s}$

Pour le 3-4-5 : $R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = 2{,}5$ et $r = \dfrac{6}{6} = 1$.

Dans tout triangle rectangle, $R = c/2$ (moitié de l'hypoténuse) — une vérification utile.

Lien avec le théorème de Pythagore

Pour $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ et la loi des cosinus se réduit à $c^2 = a^2 + b^2$ : le théorème de Pythagore est un cas particulier de la loi des cosinus.

Triplets pythagoriciens courants

a	b	c	Aire
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

Tout multiple entier d'un triplet est également un triplet pythagoricien.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer les angles d'un triangle à partir de ses trois côtés ?

On applique la loi des cosinus : cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), donc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). On répète pour B puis C = 180° − A − B. Exemple avec les côtés 3, 4 et 5 : A ≈ 36,87°, B ≈ 53,13°, C = 90°.

Qu'est-ce que la loi des cosinus et quand l'utilise-t-on ?

La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à tout triangle : c² = a² + b² − 2ab cos C. Elle s'applique dans le cas CCC (trois côtés connus) pour trouver les angles, et dans le cas CAC (deux côtés et angle compris) pour trouver le troisième côté. Pour C = 90°, cos 90° = 0 et la formule se réduit au théorème de Pythagore.

Comment calculer les rayons du cercle circonscrit et inscrit à partir des trois côtés ?

Le rayon du cercle circonscrit R (passant par les trois sommets) vaut R = abc ÷ (4S). Le rayon du cercle inscrit r (tangent aux trois côtés) vaut r = S ÷ s, avec s = (a + b + c) ÷ 2. Pour le triangle 3-4-5 : S = 6, donc R = 60 ÷ 24 = 2,5 et r = 6 ÷ 6 = 1.

Trois longueurs quelconques forment-elles toujours un triangle ?

Non. L'inégalité triangulaire exige que chaque côté soit inférieur à la somme des deux autres : a + b > c, b + c > a et a + c > b. Par exemple, 1, 2 et 10 ne forment pas de triangle car 1 + 2 = 3 < 10. Lorsque l'égalité est atteinte (par ex. 1, 2, 3), on obtient un triangle dégénéré d'aire nulle.

Quelle est la différence entre la méthode CCC et la formule de Héron ?

La formule de Héron donne uniquement l'aire à partir des trois côtés. La méthode CCC (loi des cosinus) fournit de surcroît tous les angles ainsi que les rayons des cercles circonscrit et inscrit. En pratique, on combine les deux : d'abord l'aire par Héron, puis R = abc ÷ (4S) et r = S ÷ s.