Dernière mise à jour : 2026-05-18

Triangle CAC — deux côtés et angle compris

Le cas CAC (Côté-Angle-Côté) correspond à la situation où deux côtés et l'angle qu'ils forment sont connus. Le théorème des cosinus permet d'abord de calculer le troisième côté, puis les angles restants, l'aire et les rayons des cercles circonscrit et inscrit.

Trouver le troisième côté

Si les côtés $a$ et $b$ et l'angle compris $C$ sont connus, le côté $c$ (opposé à $C$) vaut :

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Exemple — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$ :

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6{,}245$

Pour $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ et la formule se réduit au théorème de Pythagore.

Aire à partir du CAC

L'aire se calcule directement à partir des deux côtés et de l'angle compris, sans avoir besoin de $c$ :

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

Pour l'exemple ci-dessus : $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}155$.

Retrouver les angles restants

Une fois $c$ connu, on réapplique le théorème des cosinus pour obtenir l'angle $A$ :

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Puis $B = 180° - A - C$.

La loi des sinus ($A = \arcsin(a\sin C \div c)$) est également utilisable, mais la forme en cosinus est préférable : l'arcsin est ambigu pour les angles obtus, ce qui peut induire une erreur.

Rayon du cercle circonscrit et du cercle inscrit

Avec les trois côtés et l'aire connus :

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{où } s = \frac{a+b+c}{2}$

Pour le triangle rectangle 3-4-5 ($a = 3$, $b = 4$, $C = 90°$) : $c = 5$, $S = 6$, $R = 2{,}5$, $r = 1$.

CAC et CCC : choix de méthode

Données	Inconnues	Méthode
CCC (3 côtés)	Tous les angles	Théorème des cosinus (3×) + formule de Héron
CAC (2 côtés + angle compris)	3e côté, puis angles	Théorème des cosinus → CCC

Le CAC convient lorsque l'angle est mesuré directement au rapporteur ou au théodolite. Une fois le troisième côté calculé, le problème devient un CCC classique.

Cas ambigu : SSA

Le CAC exige que l'angle soit entre les deux côtés connus. Si l'angle ne l'est pas, on obtient le cas SSA (ou CCA), ambigu, qui peut admettre zéro, une ou deux solutions. Cette calculatrice ne traite que le cas CAC, qui est toujours univoque.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment trouver le troisième côté d'un triangle quand on connaît deux côtés et l'angle entre eux ?

On applique le théorème des cosinus : c² = a² + b² − 2ab cos C. Exemple : a = 5, b = 7, C = 60° : c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39, donc c = √39 ≈ 6,245. Pour C = 90°, cos 90° = 0 et la formule se réduit au théorème de Pythagore.

Qu'est-ce que le critère CAC en trigonométrie ?

CAC (Côté-Angle-Côté) signifie que deux côtés et l'angle compris entre eux sont connus. C'est un critère de congruence : deux triangles sont congruents s'ils partagent la même configuration CAC. Si l'angle n'est pas entre les deux côtés connus, on obtient le cas ambigu SSA, qui peut admettre 0, 1 ou 2 solutions.

Comment retrouver tous les angles après avoir résolu le cas CAC ?

Une fois le troisième côté c connu, on réapplique le théorème des cosinus : A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)), puis B = 180° − A − C. On peut aussi utiliser la loi des sinus : A = arcsin(a sin C ÷ c), mais la forme en cosinus est préférable car arcsin est ambigu pour les angles obtus.

Quand utiliser CAC plutôt que CCC ?

Utilisez CCC quand les trois côtés sont mesurés. Utilisez CAC quand deux côtés et l'angle compris sont connus : calculez d'abord le troisième côté avec le théorème des cosinus, puis traitez le triangle comme un cas CCC. En pratique, CAC apparaît souvent quand un angle est mesuré directement au rapporteur ou au théodolite.