Dernière mise à jour : 2026-06-05

Définition

La distance d'un point P à une droite est la longueur du plus court segment reliant P à un point quelconque de la droite. Ce segment minimal est toujours perpendiculaire à la droite ; on parle donc de distance perpendiculaire.

Pour une droite d'équation cartésienne Ax + By + C = 0 et un point P = (p_x, p_y), cette distance vaut :

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Le dénominateur est la norme du vecteur normal n = (A, B) ; il convertit l'écart algébrique du numérateur en une longueur géométrique exprimée dans les unités du repère.

Démonstration

Soit n = (A, B) le vecteur normal à la droite Ax + By + C = 0. Tout point Q = (x₀, y₀) appartenant à la droite vérifie Ax₀ + By₀ + C = 0.

La projection signée du vecteur $\overrightarrow{QP} = (p_x - x_0,\; p_y - y_0)$ sur le vecteur unitaire normal $\hat{\mathbf{n}} = (A, B)/|\mathbf{n}|$ s'écrit :

$\text{distance signée} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Comme Q est sur la droite, $Ax_0 + By_0 = -C$, donc :

$\text{distance signée} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

La valeur absolue donne la distance géométrique (positive). Le signe indique de quel côté de la droite se trouve P.

Pied de la perpendiculaire

Le pied F est le point de la droite le plus proche de P. Il s'obtient en partant de P et en se déplaçant le long du vecteur normal de la valeur $t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A^2 + B^2)$ :

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

On vérifie que AF_x + BF_y + C = 0 (F appartient bien à la droite) et que la longueur du segment PF est égale à d.

Exemple de calcul

Problème : Calculer la distance du point P = (1, −2) à la droite 3x − 4y + 5 = 0, puis déterminer le pied de la perpendiculaire.

Étape 1 — numérateur et dénominateur :

$Ap_x + Bp_y + C = 3 \times 1 + (-4) \times (-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Étape 2 — distance :

$d = \frac{|16|}{5} = 3{,}2$

Étape 3 — pied de la perpendiculaire :

$t = \frac{16}{25} = 0{,}64$

$F_x = 1 - 3 \times 0{,}64 = 1 - 1{,}92 = -0{,}92$

$F_y = -2 - (-4) \times 0{,}64 = -2 + 2{,}56 = 0{,}56$

Vérification : $3 \times (-0{,}92) + (-4) \times 0{,}56 + 5 = -2{,}76 - 2{,}24 + 5 = 0$ ✓

Le point P se trouve à 3,2 unités de la droite ; le point de la droite le plus proche est F = (−0,92 ; 0,56).

Conversion depuis la forme réduite

Si la droite est donnée sous la forme y = mx + b, on réécrit :

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

Par exemple, la droite y = 2x − 3 s'écrit 2x − y − 3 = 0, soit A = 2, B = −1, C = −3.

Multiplier A, B et C par un même scalaire non nul ne modifie ni la droite ni la distance : le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même facteur, qui se simplifie.

Distance signée

Le calculateur renvoie la distance non signée d ≥ 0. La quantité signée $(Ap_x + Bp_y + C) / \sqrt{A^2 + B^2}$ est positive lorsque P se trouve du côté du vecteur normal, et négative dans le cas contraire. Cette notion intervient notamment dans les tests d'appartenance à un demi-plan et dans la classification par machines à vecteurs de support.

Cas particuliers

• Point sur la droite : $Ap_x + Bp_y + C = 0$, donc d = 0 et F = P.
• Droite horizontale (A = 0) : la formule se simplifie en d = |By + C| / |B|.
• Droite verticale (B = 0) : la formule se simplifie en d = |Ax + C| / |A|.
• Équation dégénérée (A = B = 0) : si C = 0, tous les points vérifient l'équation (ce n'est pas une droite) ; si C ≠ 0, aucun point ne la vérifie. Dans les deux cas, la distance est indéfinie.

Lien avec le théorème de Pythagore

La démonstration peut se visualiser à l'aide d'un triangle rectangle : le point P, le pied F et un troisième point Q de la droite forment un triangle rectangle en F. L'hypoténuse PQ vérifie PQ² = PF² + FQ², ce qui confirme que PF — la distance perpendiculaire — est inférieure à toute autre distance de P à un point de la droite.