Dernière mise à jour : 2026-05-21

Le triangle : le polygone le plus simple de la géométrie

Un triangle est un polygone à trois côtés et trois angles. C'est la figure fermée la plus simple en géométrie plane, et son aire est l'une des mesures les plus fondamentales en mathématiques. Ce calculateur couvre quatre méthodes : base et hauteur, formule de Héron (trois côtés), SAS (deux côtés et l'angle compris) et ASA (un côté et deux angles adjacents).

Méthode base et hauteur

La formule la plus directe est :

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

où $b$ est la longueur d'un côté choisi comme base et $h$ est la hauteur perpendiculaire — la distance mesurée à angle droit depuis la base jusqu'au sommet opposé.

Cette formule s'applique à tout type de triangle :

• Triangles acutangles : le pied de la hauteur tombe à l'intérieur de la base.
• Triangles rectangles : un côté de l'angle droit est la base, l'autre est la hauteur.
• Triangles obtusangles : le pied de la hauteur tombe en dehors de la base, mais la formule reste valable.

Origine géométrique du facteur ½

Un triangle est exactement la moitié d'un parallélogramme ayant même base et même hauteur. En dupliquant le triangle, en le faisant pivoter de 180° et en l'assemblant le long d'un côté, on obtient un parallélogramme d'aire $b \times h$. Le triangle a donc pour aire $\frac{b \times h}{2}$.

Formule de Héron

Lorsque seules les trois longueurs de côté sont connues — sans hauteur ni angles — la formule de Héron donne directement l'aire :

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Ici $s$ est le demi-périmètre (la moitié du périmètre). La formule remonte à Héron d'Alexandrie (vers 60 apr. J.-C.).

Exemple : triangle rectangle 3-4-5

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

Vérification par la méthode base-hauteur : les deux cathètes 3 et 4 sont perpendiculaires, donc $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. Les deux méthodes concordent.

SAS : deux côtés et l'angle compris

Lorsque deux côtés $p$ et $q$ et l'angle $C$ entre eux sont connus, l'aire est :

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

Cela découle de la formule base-hauteur : en prenant $p$ comme base, la hauteur vaut $q \sin C$ (la composante de $q$ perpendiculaire à $p$).

Exemple : $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}16$

Pour $C = 90°$, $\sin 90° = 1$ et la formule se réduit à l'aire classique du triangle rectangle $\frac{1}{2} p q$.

ASA : un côté et deux angles adjacents

Lorsque le côté $c$ et les angles $A$ et $B$ à ses deux extrémités sont connus, l'aire est :

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

On l'obtient en appliquant la loi des sinus pour exprimer les deux autres côtés en fonction de $c$, puis en substituant dans la formule SAS. Le troisième angle est $C = 180° - A - B$.

Exemple : $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ (donc $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22{,}6$

Inégalité triangulaire

Trois nombres positifs quelconques ne définissent pas forcément un triangle réel. Trois longueurs $a$, $b$, $c$ forment un triangle valide si et seulement si :

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Si une seule de ces conditions est violée, aucun triangle ne peut être construit. Avec la formule de Héron, une violation rend l'expression sous la racine carrée négative — signe immédiat que l'entrée est géométriquement impossible.

Côtés	Valide ?	Raison
3, 4, 5	Oui	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	Non	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	Oui	équilatéral ✓

Applications concrètes

Architecture et construction. Les fermes triangulaires constituent l'ossature des toits, des ponts et des grues, car le triangle est le seul polygone rigide sous charge.

Géodésie. Les géomètres mesurent les trois côtés d'une parcelle et appliquent la formule de Héron pour en calculer la superficie sans établir de perpendiculaire.

Infographie. Toute surface 3D est approximée par un maillage de triangles. Le GPU calcule les aires de triangles pour déterminer l'éclairage, les ombres et les détections de collision.

Navigation. La triangulation utilise trois points de référence connus pour localiser une position inconnue.

Pour un triangle rectangle, Calculatrice du théorème de Pythagore peut retrouver le côté manquant avant le calcul de l'aire ; Calculatrice Triangle Rectangle résout l'ensemble des éléments d'un triangle rectangle à partir de deux mesures connues. Voir aussi Calculatrice d'aire et de périmètre du cercle et Calculateur de polygone régulier pour des figures connexes.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule de l'aire d'un triangle ?

La formule la plus courante est A = ½ × base × hauteur, où la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé. Elle s'applique à tout triangle dès lors que la base et sa hauteur correspondante sont connues.

Qu'est-ce que la formule de Héron ?

La formule de Héron calcule l'aire à partir des trois longueurs de côté a, b et c, sans avoir besoin de la hauteur. On calcule d'abord le demi-périmètre s = (a + b + c) ÷ 2, puis Aire = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Pour le triangle rectangle 3-4-5 : s = 6, Aire = √(6×3×2×1) = 6.

Quand trois longueurs ne forment-elles pas un triangle ?

Trois longueurs forment un triangle valide uniquement si la somme de deux quelconques côtés est supérieure au troisième (inégalité triangulaire). Les côtés 1, 2 et 10 échouent car 1 + 2 = 3 < 10. Si cette condition est violée, la formule de Héron produit une valeur négative sous la racine carrée.

Comment calculer l'aire avec deux côtés et l'angle compris ?

Si vous connaissez deux côtés p et q et l'angle C entre eux, l'aire est A = ½ × p × q × sin(C). Exemple : p = 5, q = 7, C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15,16. Cela vient du fait que la hauteur du triangle vaut q × sin(C).

Comment calculer l'aire avec un côté et deux angles ?

Si vous connaissez le côté c et les angles A et B en ses deux extrémités (avec C = 180° − A − B), l'aire est A = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B)). Exemple : c = 8, A = 50°, B = 60° → Aire = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22,6.