Dernière mise à jour : 2026-05-13

Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore énonce que, dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

$a^2 + b^2 = c^2$

C'est l'un des résultats mathématiques les plus anciens que l'on connaisse. Des tablettes cunéiformes babyloniennes datant d'environ 1800 av. J.-C. recensent déjà des triplets pythagoriciens — des ensembles d'entiers vérifiant l'équation — des siècles avant la naissance de Pythagore. Ce que Pythagore et ses disciples ont apporté, c'est une démonstration générale : la relation vaut pour tout triangle rectangle, et pas seulement pour des exemples entiers particuliers.

Comment utiliser cette calculatrice

Saisissez deux côtés quelconques d'un triangle rectangle ; la calculatrice détermine le troisième. Les trois champs sont modifiables : vous pouvez fixer l'hypoténuse et une cathète pour trouver l'autre, ou fournir les deux cathètes pour obtenir l'hypoténuse.

• a et b connus → trouver c (hypoténuse) : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b et c connus → trouver a : $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a et c connus → trouver b : $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Toutes les unités de longueur sont prises en charge. Vous pouvez mélanger librement les unités métriques et impériales.

Pourquoi la formule fonctionne

La preuve la plus intuitive consiste à tracer trois carrés sur les côtés du triangle rectangle. L'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les cathètes — on peut le vérifier en réarrangeant les pièces pour recouvrir exactement le plus grand carré. Cette « preuve par découpe » ne nécessite aucune algèbre, seulement un calcul d'aires, ce qui explique qu'elle ait été redécouverte indépendamment dans de nombreuses cultures à travers l'histoire.

La formulation algébrique découle de la formule de la distance en géométrie analytique : si l'on place l'angle droit à l'origine et les cathètes le long des axes, l'hypoténuse — le segment allant de $(a, 0)$ à $(0, b)$ — a pour longueur $\sqrt{a^2 + b^2}$ par définition de la distance euclidienne.

Exemple de calcul

Trouver l'hypoténuse. Un triangle rectangle a des cathètes $a = 3\,\text{m}$ et $b = 4\,\text{m}$. L'hypoténuse vaut :

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{m}$

Trouver une cathète. L'hypoténuse mesure $c = 13\,\text{cm}$ et une cathète $b = 5\,\text{cm}$. L'autre cathète vaut :

$a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$

Triplets pythagoriciens

Les triplets pythagoriciens sont des solutions entières de $a^2 + b^2 = c^2$. En voici quelques-uns parmi les plus connus :

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Tout multiple entier positif d'un triplet est également un triplet. Ainsi, (6, 8, 10), (9, 12, 15) et (15, 20, 25) sont tous issus de la famille (3, 4, 5).

La formule générale pour engendrer tous les triplets primitifs (sans facteur commun) fait intervenir deux entiers $m > n > 0$ :

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

Pour $m = 2, n = 1$ : $a = 3, b = 4, c = 5$ — le triplet classique.

Applications concrètes

Construction et menuiserie. La règle du 3-4-5 est l'outil le plus sûr pour vérifier un angle droit sans rapporteur. On mesure 3 unités le long d'un mur, 4 unités le long du mur adjacent, et si la diagonale mesure exactement 5 unités, l'angle est bien droit.

Navigation. La distance à vol d'oiseau entre deux points sur une carte plane est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les cathètes sont les écarts nord-sud et est-ouest. Les récepteurs GPS et les logiciels de cartographie l'utilisent en permanence.

Physique et ingénierie. Les normes de vecteurs en deux dimensions sont calculées grâce au théorème de Pythagore. La vitesse d'un objet de composantes horizontale $v_x$ et verticale $v_y$ vaut $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Infographie. La distance entre pixels, la détection de collisions et les calculs de rendu reposent tous sur ce théorème. L'extension en trois dimensions — $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — en est une généralisation directe.

Réservé aux triangles rectangles

Le théorème de Pythagore ne s'applique que lorsqu'un angle est exactement égal à 90°. Pour tout autre triangle, l'outil approprié est la loi des cosinus :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

où $C$ est l'angle opposé au côté $c$. Lorsque $C = 90°$, on a $\cos(90°) = 0$ et la loi des cosinus se réduit exactement au théorème de Pythagore — ce qui confirme que celui-ci est un cas particulier d'un résultat plus général.

Questions fréquentes (FAQ)

Que sont les triplets pythagoriciens ?

Les triplets pythagoriciens sont des ensembles de trois entiers positifs qui vérifient a² + b² = c². Le plus célèbre est (3, 4, 5) : 9 + 16 = 25. D'autres triplets courants sont (5, 12, 13), (8, 15, 17) et (7, 24, 25). Tout multiple entier d'un triplet est lui aussi un triplet — par exemple (6, 8, 10).

Comment le théorème de Pythagore est-il utilisé dans la vie quotidienne ?

Il est utilisé en construction (vérification des angles droits), en navigation (calcul de distances à vol d'oiseau), en physique (normes de vecteurs) et en infographie (calcul de distances 2D et 3D). Les charpentiers emploient la règle 3-4-5 pour tracer des angles droits.

Le théorème de Pythagore s'applique-t-il à tous les triangles ?

Non — il ne s'applique qu'aux triangles rectangles (triangles comportant un angle de 90°). Pour les autres triangles, on utilise la loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab cos(C), où C est l'angle opposé au côté c.