Dernière mise à jour : 2026-06-05

Définition

Le produit matriciel est une opération binaire qui associe à deux matrices A et B une troisième matrice C = A·B. Pour que ce produit soit défini, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Lorsque A est de dimension m×n et B de dimension n×p, le résultat C est de dimension m×p.

Dans le cas le plus courant en algèbre linéaire — les matrices carrées d'ordre 2 ou 3 — les deux matrices ont la même dimension et le produit est toujours défini.

Règle de calcul

Chaque coefficient $c_{ij}$ de la matrice produit est égal au produit scalaire de la ligne $i$ de A par la colonne $j$ de B :

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}$$

Pour une matrice 2×2, ce développement donne explicitement :

$$C = A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

Exemple numérique

Soient les deux matrices suivantes :

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$

Le calcul de chaque coefficient de C = A·B suit la règle ligne × colonne :

• $c_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19$
• $c_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = 22$
• $c_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = 43$
• $c_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = 50$

On obtient ainsi :

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Non-commutativité

Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général, A·B ≠ B·A. À titre d'illustration, avec les mêmes matrices A et B que ci-dessus :

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

Le résultat diffère de A·B = [[19,22],[43,50]]. La non-commutativité est l'une des propriétés les plus importantes à retenir, car elle contraste avec la multiplication des nombres réels et entraîne des erreurs fréquentes lors des premières manipulations. En revanche, le produit matriciel reste associatif : (A·B)·C = A·(B·C).

Matrice identité

La matrice identité $I_n$ est l'élément neutre du produit matriciel. Elle se compose de 1 sur la diagonale principale et de 0 ailleurs :

$$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Pour toute matrice carrée A, on a A·$I_n$ = $I_n$·A = A. C'est l'un des rares cas où le produit matriciel commute, et il joue un rôle central dans la définition de la matrice inverse.

Interprétation géométrique

En algèbre linéaire, chaque matrice carrée représente une transformation linéaire : rotation, réflexion, homothétie, cisaillement ou combinaison de ces opérations. Multiplier A·B correspond à composer ces deux transformations — on applique d'abord B, puis A. L'ordre dans lequel on effectue ces opérations sur l'espace influe directement sur le résultat, ce qui explique géométriquement la non-commutativité.

Par exemple, faire pivoter un carré de 90° puis l'étirer horizontalement ne donne pas le même résultat que l'étirer d'abord et le faire pivoter ensuite.

Applications

Infographie 3D

En synthèse d'image, chaque rotation, homothétie et translation d'un objet est encodée sous forme de matrice 4×4 à coordonnées homogènes. Lorsqu'un objet subit une succession de transformations — rotation, mise à l'échelle, déplacement —, on multiplie les matrices correspondantes en une seule matrice de transformation combinée. Cette matrice est ensuite appliquée à l'ensemble des sommets du maillage. Ce mécanisme est à la base du pipeline de rendu des processeurs graphiques (GPU), dont l'architecture est optimisée pour le calcul matriciel intensif.

Systèmes d'équations linéaires

Un système de n équations à n inconnues s'écrit sous forme matricielle A·x = b, où A est la matrice des coefficients, x le vecteur des inconnues et b le vecteur des termes constants. La résolution du système peut alors exploiter des opérations matricielles comme la décomposition LU ou l'élimination de Gauss.

Réseaux de neurones

Dans les réseaux de neurones artificiels, chaque couche calcule une transformation affine des activations de la couche précédente : $z = W \cdot a + b$, où W est la matrice des poids et a le vecteur des activations. L'entraînement d'un réseau profond revient donc à enchaîner des produits matriciels pour propager l'information vers l'avant (propagation directe) et calculer les gradients vers l'arrière (rétropropagation). La multiplication matricielle est ainsi l'opération dominante dans l'apprentissage profond.

Questions fréquentes (FAQ)

Le produit matriciel est-il commutatif ?

Non. En général, A·B ≠ B·A. Avec A = [[1,2],[3,4]] et B = [[5,6],[7,8]], on obtient A·B = [[19,22],[43,50]] mais B·A = [[23,34],[31,46]]. Certains cas particuliers commutent — la matrice identité ou des matrices diagonales —, mais il s'agit d'exceptions. La non-commutativité est l'une des propriétés fondamentales qui distingue l'algèbre matricielle de l'arithmétique ordinaire.

Quelle est la signification géométrique du produit matriciel ?

Chaque matrice carrée représente une transformation linéaire de l'espace : rotation, réflexion, homothétie, cisaillement ou toute combinaison de ces opérations. Calculer A·B revient à composer ces deux transformations : on applique d'abord B, puis A. L'ordre a donc une importance directe sur le résultat géométrique obtenu.

Est-il possible de multiplier des matrices non carrées ?

Oui, à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Une matrice m×n multipliée par une matrice n×p donne un résultat m×p. Ce calculateur se concentre sur les matrices carrées 2×2 et 3×3, qui sont les cas les plus fréquents en algèbre linéaire et en infographie 2D/3D.

Comment le produit matriciel est-il utilisé en infographie 3D ?

En infographie 3D, chaque rotation, homothétie et translation d'un objet est encodée sous forme de matrice 4×4 (avec les coordonnées homogènes). Pour appliquer une suite de transformations — par exemple faire tourner un objet, le mettre à l'échelle, puis le déplacer — on multiplie ces trois matrices une seule fois afin d'obtenir une matrice de transformation combinée. Celle-ci est ensuite appliquée à chaque sommet du maillage. C'est pourquoi les processeurs graphiques (GPU) sont optimisés pour les opérations matricielles.