Généré le: 13 juin 2026 à 18:01

Distribution de Poisson

Données

Taux3
Nombre d'événements2

Visualisation

Masse de probabilité 0

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/poisson-distribution

Mathématiques

Distribution de Poisson

Calcule P(X=k), P(X≤k) et P(X≥k) pour une loi de Poisson avec le paramètre de taux λ et le nombre d'événements k. Affiche les étapes de calcul et le diagramme de distribution.

Données

Paramètres

Résultats

Saisissez une valeur pour afficher les résultats.

Détails

Probabilités

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

Distribution

Masse de probabilité 0

Intégrer ce calculateur

Aperçu

Collez ce code dans votre page pour afficher le calculateur.

Partager ce calcul

Toute personne ouvrant ce lien verra vos valeurs déjà renseignées.

La loi de Poisson est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre d'événements indépendants survenant dans un intervalle fixé de temps ou d'espace, lorsque ces événements se produisent à un taux moyen constant. Elle constitue l'un des modèles probabilistes les plus utilisés, notamment en théorie des files d'attente, en ingénierie de la fiabilité, en épidémiologie et en mathématiques financières.

Fonction de masse de probabilité

Pour un paramètre de taux λ > 0 et un entier non négatif k, la fonction de masse de probabilité (FMP) est définie par :

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

où e est la constante de Neper (≈ 2,71828) et k! est la factorielle de k.

La fonction de répartition (FR) est la somme des valeurs de la FMP de 0 à k :

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

La probabilité complémentaire (au moins k événements) s'obtient par :

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Espérance et variance

La propriété la plus remarquable de la loi de Poisson est que l'espérance et la variance sont toutes deux égales à λ :

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

L'écart type vaut donc √λ et le coefficient de variation vaut 1/√λ, qui décroît lorsque λ augmente.

Exemple numérique

Un laboratoire d'analyses médicales reçoit en moyenne 6 échantillons par heure (λ = 6). Quelle est la probabilité de recevoir exactement 4 échantillons au cours d'une heure donnée ?

P(X=4)=e−6⋅644!=e−6⋅129624≈0,1339P(X = 4) = \frac{e^{-6} \cdot 6^4}{4!} = \frac{e^{-6} \cdot 1296}{24} \approx 0{,}1339

La probabilité est d'environ 13,4 %. La probabilité de recevoir au plus 4 échantillons :

P(X≤4)=∑i=04e−6⋅6ii!≈0,2851P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \frac{e^{-6} \cdot 6^i}{i!} \approx 0{,}2851

Et la probabilité d'en recevoir au moins 4 :

P(X≥4)=1−P(X≤3)≈0,8488P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) \approx 0{,}8488

Dérivation à partir de la loi binomiale

La loi de Poisson s'obtient comme cas limite de la loi binomiale Binomiale(n, p) lorsque n → ∞ et p → 0, le produit np = λ restant constant :

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Les étapes clés sont les suivantes :

  • Le coefficient binomial n!/(k!(n−k)!) converge vers n^k/k!.
  • p^k = (λ/n)^k contribue λ^k/n^k, qui s'annule avec n^k.
  • (1 − λ/n)^n converge vers e^−λ quand n → ∞.

Pourquoi l'espérance et la variance sont-elles toutes deux égales à λ

Pour la loi binomiale, l'espérance vaut np = λ et la variance np(1−p). Lorsque p → 0, le facteur (1−p) → 1, si bien que la variance converge également vers np = λ. Cette égalité — espérance = variance = λ — est la signature de la loi de Poisson. Si des données empiriques présentent une variance nettement supérieure à la moyenne (surdispersion), un modèle binomial négatif ou de type « zéro gonflé » peut être plus approprié.

Calcul numérique

Pour de grandes valeurs de k, le calcul séparé de λ^k et de k! peut provoquer un dépassement de capacité. La forme logarithmique de la FMP constitue une alternative stable :

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

Le terme log k! est accumulé de façon itérative sous la forme log 2 + log 3 + … + log k, puis l'exponentielle est calculée en fin de processus. Cette méthode reste précise jusqu'à des valeurs de k de l'ordre de plusieurs centaines.

Liens avec d'autres distributions

  • Loi binomiale : l'approximation de Poisson est fiable pour n ≥ 20 et p ≤ 0,05 (ou n ≥ 100 et np ≤ 10).
  • Loi exponentielle : le temps d'attente entre deux événements successifs d'un processus de Poisson suit une loi exponentielle de paramètre λ ; le temps moyen d'attente est 1/λ.
  • Loi normale : pour λ assez grand (typiquement λ ≥ 30), la quantité (X − λ)/√λ est approximativement distribuée selon la loi normale centrée réduite.
  • Loi géométrique : elle modélise le nombre d'essais jusqu'au premier succès dans des expériences de Bernoulli indépendantes ; son analogue continu, la loi exponentielle, se connecte au processus de Poisson via le temps d'attente inter-événements.

Applications

  • Télécommunications et réseaux : modélisation des taux d'arrivée de paquets dans les routeurs ; les files d'attente M/M/1 supposent des arrivées poissonniennes.
  • Ingénierie de la fiabilité : estimation du nombre de défaillances de composants dans un intervalle donné, sous l'hypothèse d'un taux de défaillance constant.
  • Épidémiologie : modélisation du nombre de nouveaux cas de maladie par semaine dans une région, sous l'hypothèse d'un taux d'incidence constant.
  • Actuariat : estimation de la fréquence des sinistres et calcul des primes pour des événements rares.
  • Physique : comptage de photons par un détecteur ou de désintégrations radioactives, chaque noyau se désintégrant indépendamment avec une probabilité constante par unité de temps.

Questions fréquentes (FAQ)

Dans quels cas utilise-t-on la loi de Poisson ?

La loi de Poisson s'utilise pour modéliser le nombre d'événements indépendants survenant dans un intervalle fixé de temps ou d'espace, à condition que : les événements soient indépendants les uns des autres, le taux moyen λ soit constant, et deux événements ne puissent pas se produire exactement au même instant. Exemples classiques : nombre d'appels reçus par heure dans un centre d'appels, désintégrations radioactives par seconde, erreurs typographiques par page.

Que représente λ (lambda) ?

λ est le nombre moyen d'événements attendus dans l'intervalle choisi. Si un serveur reçoit en moyenne 5 requêtes par minute, alors λ = 5. L'intervalle peut être exprimé dans n'importe quelle unité — secondes, mètres, pages — à condition d'ajuster λ proportionnellement. Pour une demi-minute, λ = 2,5 ; pour deux minutes, λ = 10.

Quel est le lien entre la loi de Poisson et la loi binomiale ?

La loi de Poisson est le cas limite de la loi binomiale lorsque le nombre d'essais n → ∞ et la probabilité de succès p → 0, en maintenant le produit np = λ constant. En pratique, l'approximation poissonienne est fiable quand n ≥ 20 et p ≤ 0,05 (ou n ≥ 100 et np ≤ 10). Elle remplace la formule binomiale, lourde à calculer, par la forme plus simple e^−λ λ^k / k!.

Pourquoi l'espérance et la variance valent-elles toutes deux λ ?

Cette égalité est une propriété fondamentale de la loi de Poisson, héritée de son passage à la limite depuis la loi binomiale : espérance = np = λ, variance = np(1−p) → np = λ quand p → 0. On en déduit un écart type de √λ et un coefficient de variation de 1/√λ. Si les données observées présentent une variance nettement supérieure à la moyenne (surdispersion), un modèle binomial négatif est généralement plus approprié.

Recommandations

Calculateur de Probabilité Binomiale

Calculez P(X=k), P(X≤k) et P(X≥k) pour une loi binomiale. Saisissez le nombre d'essais, le nombre de succès et la probabilité de succès par essai.

 En savoir plus
Calculateur de loi géométrique

Calculez P(X=k), la probabilité cumulée P(X≤k), l'espérance et la variance d'une loi géométrique. Saisissez la probabilité de succès et le numéro d'essai.

 En savoir plus
Calculateur de distribution normale

Calculez le score Z, la probabilité P(X < x), P(X > x) et le centile pour une distribution normale. Saisissez la valeur, la moyenne et l'écart-type.

 En savoir plus

200+ calculateurs · 10 langues · 100 % gratuit

Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

Non

Comment pourrions-nous améliorer ce calculateur ?
Propulsé par OneCalc ↗