Dernière mise à jour : 2026-06-05

Définition

Un hémisphère est la moitié d'une sphère obtenue par section selon un plan diamétral. Il est délimité par une base circulaire plane et une surface courbe extérieure en forme de calotte. Le rayon de la base est égal au rayon de la sphère d'origine. Des exemples courants incluent les bols, les coupoles architecturales et les igloos.

Formules

Pour un hémisphère de rayon r :

Grandeur	Formule	Remarque
Volume	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	Moitié du volume de la sphère
Aire latérale	$A_c = 2\pi r^2$	Calotte seule, sans la base
Aire de la base	$A_b = \pi r^2$	Disque circulaire plan
Aire totale	$A = 3\pi r^2$	Calotte + base

Démonstration

Volume

Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. L'hémisphère en est exactement la moitié :

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

On obtient le même résultat par intégration de sections circulaires de rayon $\sqrt{r^2 - h^2}$ de $h = 0$ à $h = r$ :

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

Aire latérale

La surface totale de la sphère est $4\pi r^2$. La calotte en représente la moitié :

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

Aire de la base et aire totale

La base est un disque de rayon $r$ :

$A_b = \pi r^2$

L'aire totale réunit calotte et base :

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

Hémisphère et sphère : comparaison

Grandeur	Hémisphère	Sphère	Rapport
Volume	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
Aire latérale	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
Aire totale	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

Le volume et l'aire latérale sont chacun la moitié des valeurs de la sphère. L'aire totale représente en revanche les trois quarts de la surface sphérique, et non la moitié, car la base plane ajoute $\pi r^2$. C'est l'erreur la plus fréquente lors du partage d'un calcul sphérique.

Exemple de calcul

Un bol hémisphérique de rayon 10 cm (0,10 m) :

Volume : $V = \frac{2}{3}\pi (0{,}10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0{,}001 \approx 0{,}002094 \text{ m}^3 = 2{,}094 \text{ cm}^3$

Aire latérale : $A_c = 2\pi (0{,}10)^2 = 2\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0628 \text{ m}^2 = 628{,}3 \text{ cm}^2$

Aire de la base : $A_b = \pi (0{,}10)^2 = \pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0314 \text{ m}^2 = 314{,}2 \text{ cm}^2$

Aire totale : $A = 3\pi (0{,}10)^2 = 3\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0942 \text{ m}^2 = 942{,}5 \text{ cm}^2$

Effet du rayon sur les grandeurs

Le volume varie comme $r^3$ et l'aire comme $r^2$ :

Facteur du rayon	Facteur du volume	Facteur de l'aire
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Cette propriété est déterminante dans la conception de réservoirs et de coupoles : doubler le rayon quadruple la surface mais multiplie le volume par huit.

Voir aussi : volume de la sphère (Calculateur de volume et surface d'une sphère) et volume du cône (Calculateur de cône : volume et surface).

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule du volume d'un hémisphère ?

Le volume d'un hémisphère est V = (2/3)πr³ — exactement la moitié du volume d'une sphère entière (4/3)πr³. Pour r = 5 cm : r³ = (0,05 m)³ = 0,000125 m³, donc V = (2/3) × π × 0,000125 ≈ 0,000262 m³ ≈ 261,8 cm³.

L'aire totale d'un hémisphère inclut-elle la base plane ?

Oui. Aire totale = aire latérale (2πr²) + aire de la base (πr²) = 3πr². Pour la seule calotte, on utilise 2πr². Pour r = 5 cm : latérale ≈ 157,1 cm², base ≈ 78,5 cm², totale ≈ 235,6 cm².

Comment comparer un hémisphère à une sphère entière ?

Un hémisphère possède la moitié du volume d'une sphère de même rayon (V = (2/3)πr³ contre (4/3)πr³). Son aire latérale (2πr²) est aussi la moitié de la surface sphérique (4πr²). L'aire totale (3πr²) représente en revanche les trois quarts de la surface de la sphère (4πr²), car la base plane ajoute πr².

Comment calculer uniquement la surface courbe d'un hémisphère ?

L'aire latérale (calotte) vaut A_c = 2πr², sans la base. Pour r = 5 cm : A_c = 2 × π × 25 ≈ 157,1 cm². En ajoutant la base (πr² ≈ 78,5 cm²), l'aire totale est 3πr² ≈ 235,6 cm².