Calculateur de volume et surface d'une sphère

Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Le volume d'une sphère est la mesure de l'espace tridimensionnel qu'elle occupe. Pour une sphère de rayon r, ce volume est calculé à partir de la formule d'Archimède V = (4/3)πr³. Le calculateur détermine également la surface et le diamètre à partir du même rayon, avec des résultats en unités métriques et impériales.

Les formules

Pour une sphère de rayon r:

Propriété	Formule
Volume	V = (4/3)πr³
Surface	A = 4πr²
Diamètre	d = 2r

Origine du facteur (4/3)π

Archimède démontra vers 250 av. J.-C. qu'une sphère occupe exactement deux tiers du volume du cylindre qui la contient (rayon r, hauteur 2r). Ce cylindre ayant un volume de 2πr³, la sphère a V = (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

Démonstration de la formule de surface

Une démonstration élégante: la surface est la dérivée du volume par rapport à r. En retirant une enveloppe infiniment mince, on obtient dV/dr = 4πr². Archimède a également prouvé que l'aire d'une sphère est égale à l'aire latérale du cylindre circonscrit — résultat qu'il fit graver sur sa tombe.

Mise à l'échelle en puissance cubique

Le volume croissant en r³, doubler le rayon multiplie le volume par 8. Ce phénomène est souvent contre-intuitif:

Facteur du rayon	Facteur du volume	Facteur de la surface
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Un ballon de basket (r ≈ 12 cm) contient environ 8 fois plus d'air qu'une balle de tennis (r ≈ 6 cm), même s'il ne semble que deux fois plus grand.

Exemples de calcul

Exemple 1 — Ballon de football

Un ballon officiel a un périmètre d'environ 68,5 cm, soit r = 68,5 / (2π) ≈ 10,9 cm.

Volume: V = (4/3) × π × (0,109)³ ≈ 0,00542 m³ ≈ 5,42 litres Surface: A = 4 × π × (0,109)² ≈ 0,149 m² ≈ 1490 cm²

Exemple 2 — Réservoir sphérique

Un château d'eau sphérique de rayon 2 m contient:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33,51 m³ ≈ 33 510 litres

Sa surface A = 4π × 4 ≈ 50,27 m² indique la quantité d'acier à peindre.

Exemple 3 — Trouver le rayon à partir du volume

Si une sphère a exactement 1 m³ de volume, son rayon est:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m (environ 62 cm)

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule du volume d'une sphère ?

Le volume d'une sphère est V = (4/3)πr³, où r est le rayon. Par exemple, une sphère de r = 5 cm a V = (4/3) × π × 125 ≈ 523,6 cm³. Archimède a démontré cette formule en inscrivant la sphère dans un cylindre de mêmes dimensions.

Comment calculer la surface d'une sphère ?

La surface d'une sphère est A = 4πr². Pour r = 5 cm, A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm². Archimède a prouvé que l'aire d'une sphère est égale à l'aire latérale du cylindre circonscrit — résultat gravé sur sa tombe.

Que se passe-t-il si on double le rayon ?

Le volume étant proportionnel à r³, doubler le rayon multiplie le volume par 2³ = 8. Une sphère de r = 10 cm contient huit fois plus qu'une sphère de r = 5 cm. Tripler le rayon donne un volume 27 fois plus grand.

Comment trouver le rayon à partir du volume d'une sphère ?

En isolant r dans V = (4/3)πr³, on obtient r = ∛(3V / (4π)). Par exemple, pour V = 1 m³, r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m.