Dernière mise à jour : 2026-07-01

Ce que fait ce calculateur

Ce calculateur réalise un test t à un échantillon à partir de statistiques de synthèse. À partir d'une moyenne d'échantillon, de son écart type et de la taille de l'échantillon, il compare l'échantillon à une moyenne de population théorique $\mu_0$ et fournit la statistique t, les degrés de liberté et une valeur p pour l'alternative bilatérale ou unilatérale que vous choisissez.

Ce à quoi répond un test t à un échantillon

Supposons qu'un processus doive produire une certaine moyenne : un poids de remplissage cible de 50 grammes, un score de référence, un temps de réaction spécifié. Vous recueillez un échantillon et sa moyenne s'écarte un peu de cette cible. Un certain écart est attendu par la seule variation aléatoire. Le test t à un échantillon pose une question précise : si la vraie moyenne de population valait réellement $\mu_0$, à quel point une moyenne d'échantillon aussi éloignée serait-elle surprenante ? La réponse est la valeur p.

La formule de t

La statistique t mesure la distance entre la moyenne de l'échantillon $\bar{x}$ et la moyenne théorique $\mu_0$, exprimée en erreurs standard :

où $s$ est l'écart type de l'échantillon et $n$ la taille de l'échantillon. Le dénominateur $s/\sqrt{n}$ est l'erreur standard de la moyenne : il diminue à mesure que l'échantillon grandit, de sorte que le même écart entre $\bar{x}$ et $\mu_0$ devient plus convaincant avec davantage de données.

Degrés de liberté

La loi de référence est la loi de Student à

degrés de liberté. Estimer l'écart type à partir des données elles-mêmes coûte un degré de liberté. Moins de degrés de liberté donnent à la loi t des queues plus lourdes, ce qui rend le test justement plus prudent avec de petits échantillons. À mesure que $n$ augmente, la loi t se rapproche de la loi normale centrée réduite.

La valeur p et sa lecture

Une fois $t$ et $df$ connus, la valeur p dépend de l'hypothèse alternative. En notant $F_t$ la fonction de répartition de la loi t :

• Bilatéral ($\mu \ne \mu_0$) : $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• Unilatéral à droite ($\mu > \mu_0$) : $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• Unilatéral à gauche ($\mu < \mu_0$) : $\;p = F_t(t,\, df)$

Comparez la valeur p à un seuil de signification $\alpha$ choisi avant de regarder les données, conventionnellement 0,05 :

• p < α — le résultat est statistiquement significatif ; les données apportent des preuves contre $\mu = \mu_0$.
• p ≥ α — les données n'apportent pas assez de preuves pour rejeter μ₀ (ce qui n'équivaut pas à prouver que la moyenne vaut μ₀).

La valeur p n'est pas la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie, et un résultat non significatif ne prouve pas « l'absence de différence ». Elle ne mesure que la compatibilité des données avec la moyenne théorique.

Exemple résolu

Un échantillon de $n = 30$ observations a une moyenne $\bar{x} = 52$ et un écart type $s = 5$. Nous testons contre une moyenne théorique de $\mu_0 = 50$ avec une alternative bilatérale.

Avec $p \approx 0{,}037$, en dessous de 0,05, la moyenne de l'échantillon diffère significativement de 50 au seuil de 5 %. Si nous avions spécifié à l'avance une alternative unilatérale à droite, la valeur p serait deux fois plus petite, $\approx 0{,}0183$.

Une valeur p significative indique qu'une différence est détectable, non son ampleur relative à la dispersion des données. Pour associer à la vraie moyenne une plage de valeurs plausibles plutôt qu'un verdict oui/non, combinez le test avec un Calculateur d'Intervalle de Confiance.

Hypothèses

Le test t à un échantillon repose sur quelques conditions :

• Indépendance — les observations sont tirées de la population de façon indépendante.
• Normalité approximative — la population sous-jacente est à peu près normale, ou l'échantillon est assez grand pour que le théorème central limite rende la distribution d'échantillonnage de la moyenne approximativement normale. Avec des tailles modérées et sans asymétrie extrême, le test est assez robuste.
• Un écart type estimé à partir de l'échantillon — c'est précisément pourquoi la loi t, et non la loi normale, est la référence correcte.

Lorsque vous comparez deux groupes indépendants plutôt qu'un échantillon à une valeur fixe, utilisez plutôt le Calculateur de test t à deux échantillons (Welch). Si votre statistique de test est déjà un z standardisé, le Calculateur de p-valeur à partir du score z le convertit en valeur p à l'aide de la loi normale.