Dernière mise à jour : 2026-05-18

Polygone régulier

Un polygone régulier possède tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier et l'hexagone en sont les exemples les plus courants. Connaître le nombre de côtés n et la longueur du côté a suffit pour déterminer toutes les autres mesures.

Ce calculateur fournit le périmètre, l'aire, l'angle intérieur, l'angle extérieur, l'apothème (rayon inscrit) et le rayon circonscrit en une seule étape.

Formules

Périmètre :

$P = n \cdot a$

Angle intérieur (à chaque sommet) :

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Angle extérieur (supplément de l'angle intérieur, somme toujours égale à 360°) :

$\beta = \frac{360°}{n}$

Apothème (rayon inscrit) — distance perpendiculaire du centre au milieu d'un côté :

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

Rayon circonscrit — distance du centre à chaque sommet :

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

Aire :

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Angles intérieurs selon le nombre de côtés

Côtés	Nom	Angle intérieur
3	Triangle équilatéral	60°
4	Carré	90°
5	Pentagone	108°
6	Hexagone	120°
8	Octogone	135°
12	Dodécagone	150°

Exemple résolu

Problème : Un carreau hexagonal régulier a un côté de 8 cm. Calculez son aire, son apothème et son rayon circonscrit.

Pour n = 6 et a = 8 cm :

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6{,}928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166{,}3 \text{ cm}^2$

Dans l'hexagone régulier, le rayon circonscrit est égal au côté ($R = a$). C'est cette propriété remarquable qui permet le pavage sans espaces de la ruche d'abeilles.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule de l'aire d'un polygone régulier ?

L'aire d'un polygone régulier à n côtés de longueur a est A = (n·a²) / (4·tan(π/n)). Pour un hexagone régulier (n=6) de côté 10 cm : A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0,5774) ≈ 259,8 cm². Une formule équivalente fait appel à l'apothème (rayon inscrit) : A = ½ × périmètre × apothème = ½ × n·a · r.

Comment calculer l'angle intérieur d'un polygone régulier ?

L'angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés vaut α = (n − 2) × 180° / n. Le triangle équilatéral (n=3) a 60°, le carré (n=4) a 90°, le pentagone régulier (n=5) a 108° et l'hexagone régulier (n=6) a 120°. L'angle extérieur — supplément de l'angle intérieur — vaut toujours 360°/n. La somme de tous les angles intérieurs est (n−2) × 180°.

Qu'est-ce que l'apothème d'un polygone régulier ?

L'apothème (aussi appelé rayon inscrit) est la distance perpendiculaire du centre du polygone au milieu de l'un quelconque de ses côtés. Pour un polygone régulier à n côtés de longueur a, l'apothème vaut r = a / (2·tan(π/n)). Il est utile pour calculer l'aire : A = ½ × périmètre × apothème, et correspond au rayon du plus grand cercle inscrit.

Le rayon circonscrit, R = a / (2·sin(π/n)), représente la distance du centre à un sommet quelconque.