Dernière mise à jour : 2026-06-23

La taille d'échantillon (proportion)

Avant le lancement d'une enquête ou d'un sondage, une question doit être tranchée : combien de personnes doivent répondre ? Trop peu de réponses, et le résultat porte une marge d'erreur si large qu'il ne permet pas de distinguer des réponses pourtant différentes ; trop de réponses, et le temps comme le budget sont dépensés pour une précision dont personne n'a besoin. Lorsque la quantité estimée est une proportion — la part de personnes qui approuvent, qui achèteraient, qui répondent « oui » —, la taille d'échantillon requise découle directement de trois choix : le degré de confiance souhaité, la précision souhaitée et une estimation approximative de la proportion elle-même.

La formule

Pour estimer une proportion dans une population, la taille d'échantillon nécessaire pour atteindre une marge d'erreur visée est

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

Chaque terme joue un rôle distinct :

• $z_{\alpha/2}$ est la valeur critique de la loi normale centrée réduite pour le niveau de confiance retenu. Elle vaut 1,645 pour une confiance de 90 %, 1,96 pour 95 % et 2,576 pour 99 %. Une confiance plus élevée signifie une valeur critique plus grande, et donc un échantillon plus grand.
• $p$ est la proportion attendue (supposée) à estimer, écrite sous forme de fraction comprise entre zéro et un. Le facteur $p\,(1 - p)$ est la variance d'une réponse binaire de type oui/non.
• $E$ est la marge d'erreur — la demi-largeur de l'intervalle de confiance, la précision $\pm$ souhaitée autour de l'estimation. Une marge plus faible figure au dénominateur au carré, si bien que diviser par deux la marge d'erreur quadruple à peu près l'échantillon.

Pourquoi 50 % est la valeur par défaut prudente

Le terme $p\,(1 - p)$ est ce qui donne son importance à la proportion, et il se comporte de façon commode. Il est nul lorsque la proportion vaut 0 et lorsqu'elle vaut 1, et il atteint son maximum de 0,25 précisément lorsque la proportion vaut 0,5. Autrement dit, une proportion proche d'un demi est la plus difficile à estimer — les réponses y sont les plus variables —, tandis qu'une proportion proche des extrêmes est plus facile à estimer.

Lorsqu'une estimation crédible de la proportion est déjà disponible, issue d'une étude pilote ou de travaux antérieurs, on l'utilise : une valeur éloignée de 0,5 donne un échantillon plus petit et moins coûteux. Mais en l'absence d'information préalable fiable, supposer une proportion de 0,5 est le choix prudent. Cela maximise $p\,(1 - p)$, produit l'échantillon requis le plus grand et garantit donc le respect de la marge d'erreur, quelle que soit la proportion réelle.

Exemple chiffré

Supposons que l'on veuille estimer une proportion dans une population avec une confiance de 95 % et une marge d'erreur de 5 points de pourcentage, sans estimation préalable, en supposant donc une proportion de 0,5. Avec une valeur critique de 1,96 :

L'arrondi à l'entier supérieur donne 385 répondants — le chiffre familier derrière d'innombrables sondages « ±3 % » et « ±5 % ». Exiger une confiance de 99 % porte la valeur critique à 2,576 et fait passer l'exigence à 664. Si une étude pilote suggérait que la proportion réelle est plus proche de 30 %, alors $p\,(1 - p)$ vaut 0,21 au lieu de 0,25, et à 95 % de confiance l'exigence tombe à 323.

Correction pour population finie

La formule ci-dessus suppose que la population est pratiquement infinie, ce qui constitue une bonne approximation lorsque l'échantillon ne représente qu'une faible part d'un grand ensemble. Lorsque l'échantillon représenterait une fraction importante d'une population réduite et connue $N$ — une règle générale courante est plus de 5 % environ —, on applique la correction pour population finie :

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

Cette correction abaisse toujours l'exigence, parfois de manière substantielle. Pour interroger 385 personnes dans une ville de 2 000 habitants, par exemple, la correction ramène l'échantillon nécessaire à environ 323. Pour de grandes populations, l'ajustement est négligeable et peut être ignoré.

Arrondi à l'entier supérieur

La taille d'échantillon doit être un nombre entier de répondants, et la formule tombe presque jamais sur un entier. On arrondit toujours à l'entier supérieur plutôt qu'à la valeur la plus proche : un arrondi à l'entier inférieur laisserait la marge d'erreur obtenue légèrement plus large que prévu, tandis qu'un arrondi à l'entier supérieur garantit la précision demandée. La même logique régit le calculateur complémentaire Calculateur de taille d'échantillon pour une moyenne, qui dimensionne une étude visant à estimer une moyenne plutôt qu'une proportion, ainsi que le calculateur Calculateur de marge d'erreur, qui parcourt la relation en sens inverse pour indiquer la précision qu'un échantillon donné permet d'obtenir.