Dernière mise à jour : 2026-05-18

Définition

Une combinaison $C(n, r)$ compte le nombre de façons de choisir $r$ éléments parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. Choisir $\{A, B\}$ est identique à choisir $\{B, A\}$.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

C'est aussi le coefficient binomial, lu "$n$ choisir $r$" ou "$n$ parmi $r$".

Exemple de calcul

Combien de mains de 5 cartes peut-on distribuer depuis un jeu standard de 52 cartes ?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2\,598\,960$$

Ce résultat, près de 2,6 millions de mains distinctes, illustre la croissance rapide du coefficient binomial.

Propriété de symétrie

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

Choisir 3 parmi 10 revient à choisir lesquels des 7 restants on écarte. Quand $r > n/2$, utiliser $C(n, n-r)$ simplifie le calcul.

Triangle de Pascal

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

Cette récurrence construit le triangle de Pascal, dont la ligne $n$ liste $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

Combinaisons et permutations

Situation	Formule	Raison
Jury de 3 personnes parmi 10 candidats	$C(10, 3)$	Seule la composition compte
Médailles (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes	$P(10, 3)$	La médaille dépend du rang
6 numéros de loterie parmi 1–49	$C(49, 6)$	Seuls les numéros choisis comptent
Code PIN de 4 chiffres sans répétition	$P(10, 4)$	La séquence détermine le code

Pour mêmes $n$ et $r$ : $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

Applications courantes

• Probabilités : mains au poker, chances de gain à la loterie
• Constitution d'équipes : sélectionner des joueurs parmi un groupe
• Contrôle qualité : prélever un échantillon représentatif d'un lot
• Loi binomiale : base des modèles probabilistes discrets

Remarques pratiques

Cas particuliers. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$ : il n'y a qu'une façon de ne rien choisir et une façon de tout choisir.

$r > n$ est indéfini. On ne peut pas choisir plus d'éléments que le total disponible ; la calculatrice affiche une erreur dans ce cas.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'une combinaison ?

Une combinaison C(n, r) est le nombre de façons de choisir r éléments parmi n éléments distincts lorsque l'ordre n'a pas d'importance. Choisir {A, B} est identique à choisir {B, A}. La formule est C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!), aussi appelé coefficient binomial ou "n choisir r".

Quand utiliser les combinaisons plutôt que les permutations ?

Utilisez une combinaison quand seul le groupe compte, pas l'ordre : choix de membres d'un jury, numéros de loterie, garnitures de pizza. Utilisez une permutation quand l'ordre détermine le résultat : attribution de sièges, classements, codes PIN. Pour mêmes n et r : C(n, r) = P(n, r) / r!.

Quelle est la formule de C(n, r) ?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Le r! au dénominateur divise toutes les dispositions des r éléments choisis, celles-ci étant considérées comme une même combinaison. Exemple : C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. Il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5 sans tenir compte de l'ordre.