Calculateur de Probabilité Binomiale

Calculez P(X=k), P(X≤k) et P(X≥k) pour une loi binomiale. Saisissez le nombre d'essais, le nombre de succès et la probabilité de succès par essai.

Données

0 – 1

Résultats

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= (?)(0,5)^{ 3 }(1-0,5)^{ 10-3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= np \\ &= (10)(0,5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{np(1-p)} \\ &= \sqrt{(10)(0,5)(1-0,5)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \binom{n}{k} &= \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= ? \end{aligned}
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Qu'est-ce que la loi binomiale ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'épreuves indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès. Lancer une pièce 10 fois et compter les faces, contrôler 100 pièces et relever les défauts, ou interroger 50 électeurs — tous ces cas suivent le modèle binomial lorsque chaque épreuve n'a que deux issues possibles et que les épreuves sont indépendantes.

Formules

Pour nn épreuves, kk succès et une probabilité de succès pp par épreuve :

Combinaisons (nombre de façons de choisir kk succès parmi nn épreuves) :

C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Probabilité exacte :

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilité cumulée (au plus kk succès) :

P(X≤k)=∑i=0k(ni)pi(1−p)n−iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

Au moins kk succès :

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Espérance et écart-type :

μ=npσ=np(1−p)\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Exemple de calcul : pile ou face

Considérons une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$) lancée 10 fois. La probabilité d'obtenir exactement 3 fois pile :

P(X=3)=(103)×0,53×0,57=120×11024≈0,117P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0{,}117

Soit environ 11,7 %. La probabilité cumulée d'obtenir 3 fois pile ou moins :

P(X≤3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1+10+45+1201024=1761024≈17,2%P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17{,}2\%

Et 3 fois pile ou plus : P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−56/1024≈94,5%P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94{,}5\%.

Applications

Contrôle qualité : Une usine fabrique des boulons avec un taux de défauts de 2 %. Pour estimer la probabilité de trouver plus de 2 défauts dans un lot de 50 pièces, on pose $n = 50$, $p = 0{,}02$ et on calcule P(X>2)=1−P(X≤2)P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2).

Essai clinique : Un médicament présente un taux de succès de 70 %. Pour un essai portant sur 20 patients, la probabilité qu'au moins 15 répondent au traitement s'obtient avec $n = 20$, $p = 0{,}7$ : P(X≥15)P(X \geq 15).

Sondage électoral : Dans une ville où 40 % des habitants soutiennent une mesure, la probabilité que exactement 5 des 12 électeurs tirés au sort y soient favorables se calcule avec $n = 12$, $k = 5$, $p = 0{,}4$.

Approximation normale

Pour un grand nn, la loi binomiale ressemble à une courbe en cloche. L'approximation X≈N(μ,σ2)X \approx N(\mu, \sigma^2) est fiable lorsque :

np≥5etn(1−p)≥5np \geq 5 \quad \text{et} \quad n(1-p) \geq 5

Une correction de continuité améliore la précision : P(X=k)≈P(k−0,5<Z<k+0,5)P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Z < k + 0{,}5), où ZZ suit la loi normale centrée réduite.

Pour $n = 10$, $p = 0{,}5$ : $np = 5$ se situe à la limite — l'approximation est imprécise ici. À partir de $n = 100$ ou davantage, elle devient excellente.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la formule de la probabilité binomiale ?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), où C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) représente le nombre de façons de choisir k succès parmi n essais. Par exemple, la probabilité d'obtenir exactement 3 faces en lançant 10 fois une pièce équilibrée vaut : P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0,1172 (soit environ 11,7 %).

Comment calcule-t-on la probabilité binomiale cumulative ?

P(X ≤ k) est la somme P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). Pour au plus 3 faces en 10 lancers : P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,172. La probabilité complémentaire P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) donne la probabilité d'obtenir au moins k succès.

Quels sont l'espérance et l'écart-type d'une loi binomiale ?

Espérance : μ = n × p. Écart-type : σ = √(np(1−p)). Pour 10 essais avec p = 0,5 : μ = 5 et σ = √2,5 ≈ 1,58. L'espérance indique le nombre moyen de succès attendus ; l'écart-type mesure la dispersion des résultats autour de cette valeur.

Quand peut-on approcher la loi binomiale par une loi normale ?

L'approximation normale est valide lorsque np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5. On pose alors X ≈ N(μ, σ²) avec μ = np et σ² = np(1−p). En appliquant la correction de continuité : P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Z < k+0,5). Pour n = 10 et p = 0,5, np = 5 se trouve exactement à la limite ; l'approximation devient nettement plus fiable à partir de n ≥ 30.

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