Calculateur de probabilité aux cartes

Probabilité exacte de tirer des cartes cibles sans remise grâce à la loi hypergéométrique. Pour le poker, le blackjack et tout jeu de cartes.

Données

≥ 1
≥ 1

Résultats

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \\ &= \dfrac{\binom{4}{2}\binom{52-4}{5-2}}{\binom{52}{5}} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} E[X] &= \dfrac{nK}{N} \\ &= \dfrac{(5)(4)}{52} \\ &= ? \end{aligned}
P(succès = k) 0

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Comment fonctionne la probabilité de tirer des cartes

La loi hypergéométrique est le modèle probabiliste qui décrit le tirage sans remise dans une population finie divisée en deux groupes : succès et échecs. Contrairement au lancer de pièce ou de dé, les tirages successifs dans un jeu de cartes ne sont pas indépendants — chaque carte retirée modifie la composition du jeu pour les tirages suivants. Ce calculateur applique cette loi à n'importe quelle combinaison de taille de jeu, de nombre de cartes cibles, de taille de main et de nombre de succès souhaités.

La formule hypergéométrique

Pour un jeu de NN cartes contenant KK cartes cibles, en tirant nn cartes sans remise, la probabilité d'obtenir exactement kk succès est :

P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Chaque terme a une signification combinatoire directe :

  • (Kk)\binom{K}{k} — nombre de façons de choisir exactement kk cibles parmi les KK disponibles
  • (N−Kn−k)\binom{N-K}{n-k} — nombre de façons de compléter les n−kn-k emplacements restants avec des cartes non-cibles
  • (Nn)\binom{N}{n} — nombre total de façons de distribuer nn cartes quelconques parmi NN

La formule compte les mains favorables et les divise par le nombre total de mains possibles.

Exemple de calcul : deux as dans une main de 5 cartes au poker

Distribution standard au poker : $N = 52$, $K = 4$ (as), $n = 5$, $k = 2$.

P(X=2)=(42)(483)(525)=6×17 2962 598 960≈0,03993P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0{,}03993

Environ 4,0 % des mains de 5 cartes contiennent exactement deux as. La probabilité d'avoir au moins un as est bien plus élevée : environ 34,1 %.

Le nombre d'as espéré par main est :

E[X]=n⋅KN=5×452=513≈0,385E[X] = \frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \times 4}{52} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385

En moyenne, on obtient un peu moins d'un demi-as par main — mais on reçoit bien sûr toujours un nombre entier de cartes. L'espérance décrit la moyenne sur un grand nombre de donnes.

Différence entre « au moins k » et « exactement k »

Le résultat P(au moins k) — P(X≥k)P(X \geq k) — somme la fonction de masse de probabilité (FMP) de kk jusqu'à min⁡(n,K)\min(n, K) :

P(X≥k)=∑i=kmin⁡(n,K)P(X=i)P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} P(X = i)

Pour la plupart des usages pratiques, la question porte sur un seuil minimal (« au moins deux cœurs ») plutôt que sur une valeur exacte. Utilisez le graphique pour visualiser comment la masse de probabilité se répartit sur toutes les valeurs possibles de succès.

Scénarios courants au jeu de cartes

JeuCiblesMainSouhaitésP(exactement)P(au moins)
524 (as)5129,9 %34,1 %
524 (as)524,0 %4,2 %
5213 (cœurs)538,2 %9,3 %
5212 (figures)5225,1 %32,5 %
524 (as)2114,5 %14,9 %
312 (sabot 6 jeux)24 (as)2114,2 %14,8 %

La ligne du sabot de blackjack à six jeux montre que lorsque le rapport K/NK/N reste constant (24/312 = 4/52), la probabilité varie à peine — le grand dénominateur l'emporte.

Loi hypergéométrique contre loi binomiale

La loi binomiale s'applique lorsque chaque tirage est indépendant avec une probabilité fixe pp. Les tirages de cartes ne sont pas indépendants — retirer une carte modifie pp pour le tirage suivant. Pour un jeu de 52 cartes, la différence reste faible mais réelle :

  • Approximation binomiale pour 1 as en 5 cartes : 1−(1−4/52)5≈33,0 %1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33{,}0\,\%
  • Valeur exacte hypergéométrique : ≈34,1 %\approx 34{,}1\,\%

L'écart s'amplifie lorsque la main représente une fraction importante du jeu. Pour une main de 10 cartes tirées d'un jeu de 20, l'approximation binomiale s'avère nettement insuffisante ; la formule hypergéométrique reste exacte.

Comment utiliser ce calculateur

  1. Taille du jeu — nombre total de cartes avant tout tirage. Jeu standard : 52 cartes. Sabot de blackjack à six jeux : 312. Retirez les cartes déjà jouées pour modéliser une situation en cours de partie.
  2. Cartes cibles dans le jeu — nombre de cartes comptant comme « succès ». As : 4. Cartes d'une même enseigne : 13. Rois rouges : 2.
  3. Taille de la main — nombre de cartes tirées en une seule donne.
  4. Succès souhaités — le nombre exact que vous recherchez. Utilisez P(au moins k) lorsque vous vous intéressez à un seuil minimal.

Le graphique de distribution visualise la FMP complète — comment la masse de probabilité se répartit de zéro succès jusqu'au maximum possible. La barre mise en évidence correspond à votre saisie de Succès souhaités.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la probabilité d'avoir deux as dans une main de 5 cartes au poker ?

Avec un jeu de 52 cartes, 4 as et une main de 5 cartes : P(X = 2) = C(4,2) × C(48,3) / C(52,5) = 6 × 17 296 / 2 598 960 ≈ 0,03993, soit environ 4,0 %. La probabilité d'avoir au moins un as est nettement plus élevée : environ 34,1 %. Saisissez Jeu = 52, Cibles = 4, Main = 5, Souhaités = 2 pour vérifier.

Pourquoi le tirage de cartes suit-il une loi hypergéométrique ?

La loi hypergéométrique modélise un échantillonnage sans remise dans une population finie divisée en deux groupes. Le tirage de cartes s'y adapte parfaitement : le jeu est la population, les cartes cibles forment un groupe et les autres l'autre groupe.

Chaque carte retirée modifie la composition du jeu pour le tirage suivant — c'est précisément la caractéristique d'un tirage sans remise. Si chaque carte était remise avant le tirage suivant, la loi binomiale, plus simple, s'appliquerait à la place.

Ce calculateur suppose-t-il un tirage avec ou sans remise ?

Sans remise — règle standard de tous les jeux de cartes. Une fois tirée, une carte n'est pas remise dans le jeu, ce qui modifie les probabilités à chaque coup. La formule hypergéométrique en tient compte exactement. Pour des probabilités avec remise (chaque carte remise avant le tirage suivant), la loi binomiale s'applique ; vous pouvez alors utiliser le calculateur de probabilité binomiale.

Comment calculer la probabilité d'une main complète au poker, comme une couleur ?

Pour les mains à plusieurs conditions, il faut compter directement les combinaisons de 5 cartes favorables plutôt que d'utiliser un seul calcul hypergéométrique.

Par exemple, une couleur (5 cartes de la même enseigne) : il y a C(13,5) = 1 287 façons par enseigne × 4 enseignes = 5 148 mains couleur sur C(52,5) = 2 598 960 mains possibles, soit environ 0,197 %. Ce calculateur traite les tirages à condition unique (exactement ou au moins k cartes d'un certain type) — pour les fréquences complètes des mains de poker, consultez un tableau de probabilités ou une référence en combinatoire.

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