Calculateur de nombres de Fibonacci

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Ce que calcule cet outil

Le calculateur de nombres de Fibonacci détermine F(n) — le n-ième terme de la suite — pour tout indice compris entre 0 et 70. Entrez n pour obtenir F(n), F(n−1), le rapport F(n)/F(n−1) (qui converge vers le nombre d'or) et la suite complète de F(0) à F(n).

La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci commence par 0 et 1; chaque terme suivant est la somme des deux précédents:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Formellement: F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n−1) + F(n−2) pour n ≥ 2.

Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo de Pise (v. 1170–1250), dit Fibonacci, qui l'a utilisée en 1202 dans son Liber Abaci pour modéliser la croissance d'une population de lapins. Des mathématiciens indiens avaient pourtant décrit la même suite bien des siècles auparavant dans l'étude de la métrique sanscrite.

Méthode de calcul

Le calculateur utilise une boucle itérative plutôt que la définition récursive. En partant de F(0) = 0 et F(1) = 1, chaque étape additionne les deux termes précédents pour atteindre F(n) en exactement n − 1 additions. Le temps de calcul est O(n) et on évite l'explosion exponentielle de la récursion naïve.

L'indice maximal supporté est n = 70, car F(70) = 190 392 490 709 135 est le plus grand nombre de Fibonacci représentable exactement dans un flottant IEEE 754 sur 64 bits. Au-delà de n = 70, les valeurs dépassent la limite des entiers sûrs 2⁵³ et les arrondis corrompraient le résultat.

Exemple de calcul

Entrée: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Résultat: F(12) = 144, F(11) = 89, rapport = 144/89 ≈ 1,61797753.

À noter: 144 = 12² est un carré parfait. Avec 0 et 1, c'est le seul nombre de Fibonacci qui soit aussi un carré parfait (théorème de Ljunggren).

Le lien avec le nombre d'or

Quand n augmente, le rapport F(n) / F(n−1) converge vers le nombre d'or:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1{,}6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1,66667
10	55	1,61765
20	6 765	1,61803
30	832 040	1,61803399

Dès n = 20, le rapport coïncide avec φ à six décimales près. Le nombre d'or apparaît en géométrie (rapport diagonale/côté dans le pentagone régulier), dans l'architecture classique grecque et dans les spirales des graines de tournesol et des pommes de pin.

La formule de Binet

La formule de Binet exprime F(n) directement, sans itération:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

où $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}61803$ est le nombre d'or et $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}61803$ son conjugué.

Comme |ψ| < 1, le terme ψⁿ tend vers zéro à mesure que n croît. Pour n ≥ 1, F(n) est donc simplement l'entier le plus proche de $\varphi^n / \sqrt{5}$. Élégante en théorie, la formule repose sur l'arithmétique virgule flottante et perd en précision pour de grandes valeurs de n — d'où le choix de la méthode itérative dans ce calculateur.

La suite de Fibonacci dans la nature et les sciences

La suite apparaît dans des domaines très variés:

• Botanique: De nombreuses fleurs ont leurs pétales en nombre de Fibonacci — souvent 3, 5, 8 ou 13. Les têtes de tournesol présentent typiquement 34 et 55 rangées de spirales en sens opposé.
• Phyllotaxie: Les feuilles et les branches poussent souvent selon des angles liés à φ, ce qui maximise la captation de la lumière solaire.
• Informatique: Les tas de Fibonacci, une structure de données utilisée dans les algorithmes de graphes, tirent leur nom de cette suite. Le calcul récursif naïf de F(n) est l'exemple classique de complexité exponentielle dans l'enseignement des algorithmes.
• Analyse technique: Les retracements de Fibonacci (23,6 %, 38,2 %, 61,8 %) — dérivés des rapports entre termes consécutifs — sont largement utilisés en bourse et sur le marché des changes, bien que leur valeur prédictive soit débattue.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?

La suite de Fibonacci est une suite de nombres où chaque terme est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Formellement, F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n−1) + F(n−2) pour n ≥ 2.

Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo de Pise (Fibonacci, v. 1170–1250), qui l'utilisa en 1202 dans son Liber Abaci pour modéliser la croissance d'une population de lapins. Des mathématiciens indiens avaient cependant décrit la même suite des siècles auparavant dans l'étude de la métrique sanscrite.

Quel est le rapport entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?

À mesure que n augmente, le rapport entre deux termes consécutifs F(n) / F(n−1) converge vers le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887. Dès n = 10, le rapport vaut déjà 1,61765 ; à n = 20, il coïncide avec φ à six décimales près. Cette connexion apparaît en géométrie (rapport diagonale/côté dans le pentagone régulier), dans l'art et dans la nature — par exemple dans les spirales des graines de tournesol.

À quoi sert la formule de Binet ?

La formule de Binet calcule F(n) directement sans itération : F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 est le nombre d'or et ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,61803 son conjugué.

Comme |ψ| < 1, le terme ψⁿ tend vers zéro, si bien que F(n) est simplement l'entier le plus proche de φⁿ / √5. Bien qu'élégante, la formule repose sur l'arithmétique virgule flottante et perd en précision pour de grandes valeurs de n — ce calculateur utilise donc la méthode itérative.

Jusqu'à quel n ce calculateur peut-il aller ?

Le calculateur prend en charge n de 0 à 70. F(70) = 190 392 490 709 135 est le plus grand nombre de Fibonacci représentable exactement dans un flottant 64 bits (IEEE 754). À partir de F(71), les valeurs dépassent la limite des entiers sûrs 2⁵³ = 9 007 199 254 740 992, si bien que les arrondis fausseraient le résultat.