Équation d'une droite passant par deux points

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Qu'est-ce qu'une équation de droite ?

Une droite dans le plan cartésien est entièrement déterminée par deux de ses points. Étant donné P₁ = (x₁, y₁) et P₂ = (x₂, y₂), la droite qui les relie possède une pente unique et peut s'écrire sous trois formes standard — chacune adaptée à des usages différents.

Les trois formes standard

Forme pente-ordonnée : y = mx + b

La forme la plus courante. m est la pente (variation de y divisée par la variation de x) et b est l'ordonnée à l'origine (où la droite coupe l'axe y).

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

Usage privilégié : tracer rapidement une droite en partant de (0, b) et en avançant de m pour chaque unité vers la droite ; lire la pente et l'ordonnée à l'origine au premier coup d'œil.

Forme point-pente : y − y₁ = m(x − x₁)

Utilise directement l'un des points donnés et la pente, sans avoir à calculer b au préalable.

Usage privilégié : quand on connaît un point et la pente, ou en cours de résolution d'un exercice.

Forme générale : Ax + By = C

Tous les termes d'un côté, sans fractions si les coordonnées sont entières. Convention : A ≥ 0.

Usage privilégié : résolution de systèmes d'équations linéaires (addition ou soustraction directe des équations) ; calcul simultané des deux intersections avec les axes.

Cas particuliers

Droite verticale

Si x₁ = x₂, les deux points sont sur une droite verticale. La pente est indéfinie car le dénominateur x₂ − x₁ = 0 entraînerait une division par zéro. L'équation est simplement x = x₁.

Droite horizontale

Si y₁ = y₂, la droite est horizontale. La pente est nulle, l'ordonnée à l'origine est y₁, et les trois formes se ramènent à y = y₁.

Passage d'une forme à l'autre

De	Vers	Procédure
Point-pente	Pente-ordonnée	Développer, isoler y
Pente-ordonnée	Forme générale	Déplacer mx à gauche, multiplier par −1 si A < 0
Forme générale	Pente-ordonnée	Isoler y : y = (C − Ax) / B

Coefficients entiers dans la forme générale

Lorsque la pente s'écrit m = p/q (fraction irréductible), on multiplie tous les termes de y = mx + b par q :

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

Les coefficients A = p, B = −q et C = −qb sont alors entiers. Cette calculatrice effectue ce passage automatiquement lorsque les coordonnées saisies sont entières.

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle forme d'équation de droite utiliser ?

La forme pente-ordonnée (y = mx + b) est idéale pour lire immédiatement la pente et l'ordonnée à l'origine, et pour tracer la droite en partant de (0, b). La forme point-pente (y − y₁ = m(x − x₁)) convient lorsqu'on connaît un point et la pente sans avoir à calculer b au préalable. La forme générale (Ax + By = C) est préférable pour résoudre des systèmes d'équations linéaires et pour déterminer simultanément les deux intersections avec les axes.

Comment passer d'une forme à l'autre ?

Forme point-pente → pente-ordonnée : développer le membre droit et isoler y : y − y₁ = m(x − x₁) → y = mx + b avec b = y₁ − mx₁. Pente-ordonnée → forme générale : déplacer mx à gauche, puis multiplier par −1 si A < 0 : y = mx + b → mx − y = −b. Forme générale → pente-ordonnée : isoler y : y = (C − Ax) / B.

Que se passe-t-il si les deux points ont la même abscisse ?

Si x₁ = x₂, les deux points sont sur une droite verticale. La pente n'est pas définie car le dénominateur x₂ − x₁ = 0 entraînerait une division par zéro. L'équation est simplement x = x₁. Si x₁ = 0, la droite coïncide avec l'axe des ordonnées.

Comment obtenir des coefficients entiers dans la forme générale ?

Si la pente s'écrit m = p/q (fraction irréductible), on multiplie tous les termes de y = mx + b par q : qy = px + qb, soit px − qy = −qb. Les coefficients A = p, B = −q et C = −qb sont alors entiers. Cette calculatrice effectue cette opération automatiquement lorsque les coordonnées saisies sont entières.

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