Résoudre une équation linéaire (ax + b = c)

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?

Une équation linéaire à une inconnue est toute équation pouvant s'écrire sous la forme :

$$ax + b = c$$

où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres connus et $x$ est l'inconnue à déterminer. « Linéaire » signifie que $x$ n'apparaît qu'à la première puissance — sans terme $x^2$, $x^3$ ni racine. C'est la classe d'équation la plus simple de l'algèbre et le socle de toutes les méthodes de degré supérieur.

Méthode : isoler x

Pour trouver $x$, on effectue la même opération des deux côtés de l'équation jusqu'à ce que $x$ soit seul.

Étape 1 — soustraire $b$ des deux membres :

$$ax = c - b$$

Étape 2 — diviser les deux membres par $a$ (à condition que $a \neq 0$) :

$$x = \frac{c - b}{a}$$

La solution est alors entièrement déterminée.

Exemple de calcul

Résoudre $5x + 3 = 23$ :

1. Identifier les coefficients : $a = 5$, $b = 3$, $c = 23$.
2. Soustraire $b$ : $5x = 23 - 3 = 20$.
3. Diviser par $a$ : $x = 20 / 5 = 4$.
4. Vérification : $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$ ✓

Règles de signe

Lorsque $b$ est négatif — par exemple $b = -7$ —, le soustraire revient à additionner sa valeur absolue :

$$ax = c - (-7) = c + 7$$

Si $a$ est négatif, on divise par un nombre négatif et le signe de la solution change en conséquence. La formule $x = (c - b) / a$ est valable dans tous les cas, quel que soit le signe.

Cas dégénéré : quand a = 0

Lorsque $a = 0$, le terme en $x$ disparaît et l'équation se réduit à $b = c$ :

$b = c$ — infinité de solutions. Tout nombre réel vérifie l'équation puisque $x$ n'y figure plus. Exemple : $0 \cdot x + 4 = 4$ est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$b \neq c$ — aucune solution. L'équation devient une affirmation fausse comme $4 = 7$. Aucune valeur de $x$ ne peut rendre vraie une proposition fausse.

Domaines d'application

Les équations linéaires sont omniprésentes dans la vie courante et les sciences :

• Mouvement uniforme : $d = v \cdot t$ isolé en $t$ : $t = d / v$.
• Conversion de température : Celsius en Fahrenheit $F = 1{,}8C + 32$, isolé en $C = (F - 32) / 1{,}8$.
• Seuil de rentabilité : la quantité $x$ à partir de laquelle le chiffre d'affaires couvre les coûts s'obtient d'une équation linéaire.
• Électricité : la loi d'Ohm $U = R \cdot I$, isolée en $I = U / R$.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment résoudre ax + b = c ?

On soustrait b des deux membres pour obtenir ax = c − b, puis on divise par a : x = (c − b) / a (à condition que a ≠ 0). Exemple : 3x + 4 = 13 donne x = (13 − 4) / 3 = 3.

Que se passe-t-il si le coefficient a est nul ?

Si a = 0, le terme en x disparaît et l'équation se réduit à b = c. Si b = c (par exemple 0·x + 5 = 5), tout réel est solution — infinité de solutions. Si b ≠ c (par exemple 0·x + 5 = 7), l'équation est une contradiction et n'a aucune solution.

La solution peut-elle être négative ou fractionnaire ?

Oui. Par exemple, 2x + 7 = 3 donne x = −2 (solution négative) et 3x + 1 = 3 donne x = 2/3 (solution fractionnaire). La calculatrice affiche automatiquement les fractions lorsque le dénominateur est inférieur ou égal à 1000.

Quelle est la différence entre une équation linéaire et une équation du second degré ?

Une équation linéaire (degré 1) ne contient x qu'à la première puissance et a exactement une solution quand a ≠ 0. Une équation du second degré contient x² et peut avoir 0, 1 ou 2 solutions. L'équation linéaire est le fondement de toute résolution algébrique de degré supérieur.