Calculateur de Logarithme

Dernière mise à jour : 2026-05-18

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Un logarithme répond à la question : « à quelle puissance dois-je élever cette base pour obtenir ce nombre ? » Si $b^y = x$, alors $\log_b(x) = y$. Ce calculateur évalue simultanément les quatre formes logarithmiques les plus courantes — base quelconque, base 10, logarithme naturel et base 2 — afin de vous permettre de les comparer en un coup d'œil.

Formules

Pour un nombre positif $x$ et une base positive $b \neq 1$ :

Base quelconque (changement de base) :

$$\log_b(x) = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Logarithme décimal (base 10) :

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$$

Logarithme naturel (base e) :

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

Logarithme binaire (base 2) :

$$\log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

Antilogarithme — vérification :

$$b^{\log_b(x)} = x$$

Nature du logarithme

$\log_b(x)$ est la fonction réciproque de l'exponentiation. Puisque $10^3 = 1000$, on a $\log_{10}(1000) = 3$. La base détermine l'« échelle » utilisée :

• Base 10 — le logarithme décimal. Chaque unité sur l'échelle logarithmique correspond à un facteur 10 sur la valeur originale. Utilisé pour les décibels (niveau sonore), le pH (acidité) et l'échelle de Richter (séismes).
• Base e ≈ 2,71828 — le logarithme naturel (ln). Apparaît naturellement dans la croissance exponentielle, les intérêts composés, la désintégration radioactive et de nombreuses formules d'ingénierie. La dérivée de $\ln(x)$ est simplement $1/x$.
• Base 2 — le logarithme binaire. Chaque unité représente un doublement. Utilisé en théorie de l'information (bits), en informatique (recherche dichotomique, profondeur d'arbre) et en musique (octaves).

La formule de changement de base

Les calculatrices scientifiques n'ont généralement que deux touches logarithmiques : log (base 10) et ln (base e). Pour calculer $\log_b(x)$ dans toute autre base, utilisez :

$$\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Exemple : calculer $\log_5(125)$

$$\log_5(125) = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4{,}828}{1{,}609} = 3$$

Vérification : $5^3 = 125$ ✓

Applications concrètes

Domaine	Ce que mesure le logarithme
Son (décibels)	$dB = 10 \log_{10}(P / P_0)$ — 10 dB de plus = 10 fois plus de puissance
Chimie (pH)	$pH = -\log_{10}[\text{H}^+]$ — pH 4 est 10 fois plus acide que pH 5
Séismes (Richter)	Chaque unité correspond à 10 fois l'amplitude du mouvement du sol
Finance	Taux de croissance continu : $r = \ln(V_f / V_i) / t$
Informatique	$\log_2(n)$ étapes pour une recherche dichotomique dans $n$ éléments
Musique	Chaque octave double la fréquence ; $\log_2$ compte les octaves

Ambiguïté de la notation « log »

La notation « log » est ambiguë : en mathématiques, elle désigne souvent $\ln$ (logarithme naturel), tandis qu'en sciences et en ingénierie elle désigne généralement $\log_{10}$ (logarithme décimal). Les langages de programmation varient eux aussi : en Python, math.log(x) correspond à $\ln$ et math.log10(x) à $\log_{10}$.

Pour éviter toute confusion, ce calculateur affiche les quatre formes pour chaque saisie.

Exemple résolu : différence de niveau sonore

Deux haut-parleurs ont des intensités sonores $I_1 = 0{,}001\ \text{W/m}^2$ et $I_2 = 0{,}000001\ \text{W/m}^2$.

La différence en décibels est :

$$\Delta dB = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$$

Le haut-parleur 1 est 30 dB plus fort, soit 1 000 fois plus de puissance acoustique.

Questions fréquentes (FAQ)

Comment calculer un logarithme ?

Le logarithme log_b(x) répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever b pour obtenir x ? » Par exemple, log₁₀(1000) = 3 car 10³ = 1000. Pour calculer un logarithme dans une base quelconque, on applique la formule de changement de base : log_b(x) = ln(x) / ln(b). Les touches « log » (base 10) et « ln » (logarithme naturel) d'une calculatrice suffisent pour obtenir n'importe quel logarithme.

Quelle est la différence entre log et ln ?

En sciences et en ingénierie, « log » sans précision désigne généralement le logarithme décimal (base 10). « ln » est le logarithme naturel, dont la base est le nombre e ≈ 2,71828. Les deux sont des logarithmes — seule la base diffère. En mathématiques pures, « log » peut désigner le logarithme naturel ; il convient donc de vérifier le contexte. Ce calculateur affiche explicitement les deux valeurs pour éviter toute ambiguïté.

Qu'est-ce que la formule de changement de base ?

La formule de changement de base permet d'évaluer n'importe quel logarithme avec une calculatrice ordinaire : log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b). Les trois formes sont équivalentes. Par exemple, log₅(125) = ln(125) / ln(5) ≈ 4,828 / 1,609 = 3 (car 5³ = 125). Ce calculateur applique cette formule en interne pour toute base saisie.

Comment calculer le logarithme en base 2 ?

log₂(x) indique combien de fois il faut multiplier 2 par lui-même pour obtenir x. Valeurs courantes : log₂(2) = 1, log₂(4) = 2, log₂(8) = 3, log₂(1024) = 10. En informatique, log₂ exprime le nombre de bits nécessaires : adresser 1024 emplacements mémoire requiert exactement 10 bits. Pour le calculer : log₂(x) = ln(x) / ln(2) ≈ ln(x) / 0,6931.