Calculateur de distribution normale

Dernière mise à jour : 2026-05-18

Calculateur de distribution normale

La distribution normale est une distribution de probabilité continue, symétrique autour de sa moyenne, entièrement déterminée par deux paramètres : la moyenne μ et l'écart-type σ. Elle décrit de nombreux phénomènes naturels — tailles, erreurs de mesure, notes d'examens, résultats sportifs, rendements financiers — dès que les échantillons sont suffisamment grands. Ce calculateur détermine le score Z, la probabilité cumulative P(X < x), la probabilité complémentaire P(X > x), le centile et la densité de probabilité f(x) pour n'importe quelle distribution normale, sans recourir à une table Z.

Distribution normale

Les deux paramètres qui définissent entièrement la forme de la courbe sont :

• μ (moyenne) — le centre de la distribution
• σ (écart-type) — la dispersion des valeurs autour de la moyenne

La fonction de densité de probabilité (FDP) est :

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Le score Z

Le score Z convertit une valeur en nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne :

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Score Z	Interprétation
z = 0	La valeur est égale à la moyenne
z = 1	Un écart-type au-dessus de la moyenne
z = −2	Deux écarts-types en dessous de la moyenne
z > 3	Valeur extrême — survient dans moins de 0,3 % des cas

Le score Z est utilisé pour comparer des valeurs issues de distributions aux échelles différentes. Par exemple, il permet de mettre sur un pied d'égalité une note sur 20 et une note sur 100, ou encore un résultat au baccalauréat et un test standardisé international.

Probabilité cumulative : P(X < x)

P(X < x) est l'aire sous la courbe en cloche à gauche de x. Elle représente la probabilité qu'une valeur tirée aléatoirement de cette distribution soit inférieure à x.

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Ici Φ(z) désigne la fonction de répartition (CDF) de la loi normale standard N(0, 1), et erf est la fonction d'erreur — une fonction spéciale définie par $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

Ce calculateur utilise l'approximation rationnelle d'Abramowitz & Stegun §7.1.26 (erreur maximale < 1,5 × 10⁻⁷), précise à 6 chiffres significatifs.

La règle 68–95–99,7

Pour toute distribution normale, trois valeurs repères délimitent les intervalles pratiques :

Intervalle	Probabilité
μ ± 1σ	~68,3 %
μ ± 2σ	~95,4 %
μ ± 3σ	~99,7 %

Cela signifie qu'environ 1 valeur sur 370 se trouve à plus de 3 écarts-types de la moyenne. En contrôle qualité industriel, les démarches Six Sigma utilisent cet intervalle comme seuil de production sans défaut.

Exemple résolu

Dans une classe, les notes à un examen suivent une distribution de moyenne μ = 72 et d'écart-type σ = 8. Un élève a obtenu x = 85.

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1{,}625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1{,}625) \approx 0{,}9479$$

Cet élève se situe approximativement au 95e centile — il a fait mieux qu'environ 94,8 % des autres élèves. Les 5,2 % les mieux classés ont obtenu une note supérieure.

Densité de probabilité f(x) vs probabilité cumulative P(X < x)

Grandeur	Symbole	Signification
Densité de probabilité	f(x)	Hauteur de la courbe en x — ce n'est pas une probabilité
Probabilité cumulative	P(X < x)	Aire sous la courbe à gauche de x — une vraie probabilité

f(x) peut dépasser 1 pour les distributions très concentrées (σ faible), car c'est une densité, non une probabilité. Dans une distribution continue, la probabilité qu'une variable prenne exactement une valeur donnée est toujours nulle ; seuls les intervalles ont une probabilité non nulle.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'un score Z et comment le calcule-t-on ?

Le score Z indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne : z = (x − μ) / σ. Un score Z de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Z = 1 signifie un écart-type au-dessus de la moyenne, Z = −2 signifie deux écarts-types en dessous. Le score Z permet de comparer des valeurs issues de distributions aux moyennes et dispersions différentes en les ramenant à une échelle commune.

Que signifie P(X < x) dans une distribution normale ?

P(X < x) est la probabilité cumulative — la probabilité qu'une valeur tirée aléatoirement de cette distribution soit inférieure à x. Elle correspond à l'aire sous la courbe en cloche à gauche de x. Par exemple, P(X < 75) = 0,69 signifie qu'environ 69 % des valeurs de cette distribution sont inférieures à 75. P(X > x) = 1 − P(X < x) couvre l'aire à droite.

Qu'est-ce que la règle 68-95-99,7 ?

Pour toute distribution normale, environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d'un écart-type de la moyenne (Z entre −1 et +1), environ 95 % à moins de deux écarts-types, et 99,7 % à moins de trois écarts-types. C'est pourquoi les valeurs avec |Z| > 3 sont considérées comme des valeurs aberrantes statistiques — elles surviennent moins de 0,3 % du temps dans une distribution normale.

Comment obtenir le centile à partir du score Z ?

Le centile est égal à P(X < x) × 100. Un score Z de 0 correspond au 50e centile (exactement la moitié de la distribution est inférieure à la moyenne). Z = 1,28 correspond approximativement au 90e centile ; Z = 1,645 au 95e ; Z = 2,326 au 99e. Ce calculateur détermine le centile directement — aucune table Z n'est nécessaire.