Ultimo aggiornamento: 2026-06-28

La virgola mobile IEEE 754

Quasi tutti i numeri che un elaboratore gestisce sono numeri in virgola mobile. Il processore non conserva un elenco di tutti i valori reali: memorizza invece un segno, un esponente intero scalato e una parte frazionaria a larghezza fissa, poi li combina per approssimare il valore desiderato. IEEE 754, pubblicato nel 1985 e revisionato nel 2008, è lo standard che definisce esattamente questa codifica, ed è seguito da tutti i principali linguaggi di programmazione e processori.

Struttura dei bit

Un numero in virgola mobile a precisione singola (32 bit) secondo IEEE 754 è suddiviso in tre campi compressi in una parola da 32 bit:

Un numero a precisione doppia (64 bit) estende l'esponente a 11 bit e la mantissa a 52 bit, mantenendo il bit di segno a 1.

Il valore di un numero normale si ricostruisce come:

dove $S$ è il bit di segno, $M$ è la parte frazionaria della mantissa interpretata in binario, e il bias vale 127 per la precisione singola o 1023 per quella doppia. Il bit iniziale 1 in $1.M$ è implicito e non viene memorizzato, offrendo un bit di precisione aggiuntivo senza costo.

Perché 0,1 non è esatto

La maggior parte delle frazioni decimali comuni non termina in binario. La frazione 0,1 vale un decimo, ma in base 2 si espande come una sequenza periodica:

Poiché la mantissa ha una larghezza finita (23 bit per la precisione singola, 52 per quella doppia), questa sequenza viene arrotondata al valore rappresentabile più vicino. Per la precisione doppia, il valore memorizzato è circa 0,10000000000000000555, prossimo ma non uguale a 0,1. Quando si sommano due valori così arrotondati, gli errori si cumulano:

Non si tratta di un difetto: è la conseguenza prevedibile della rappresentazione binaria. Il campo Valore memorizzato mostra l'equivalente decimale esatto del pattern di bit, così è possibile osservare l'arrotondamento con qualsiasi numero.

Valori speciali

IEEE 754 riserva due pattern dell'esponente per casi particolari:

I numeri subnormali rinunciano al bit iniziale implicito per rappresentare valori inferiori al minimo normale, con una riduzione della precisione. ±Infinito si ottiene in caso di overflow o divisione per zero. NaN è il risultato di operazioni indefinite come 0 ÷ 0 o √−1.

Precisione singola e precisione doppia

La precisione singola occupa 32 bit e fornisce circa 7 cifre decimali significative, con valori compresi approssimativamente tra ±1,2 × 10⁻³⁸ e ±3,4 × 10³⁸. La precisione doppia utilizza 64 bit, garantisce da 15 a 17 cifre significative e copre l'intervallo da ±2,2 × 10⁻³⁰⁸ a ±1,8 × 10³⁰⁸.

La maggior parte dei linguaggi di programmazione usa la doppia precisione come tipo predefinito per la virgola mobile. La singola precisione è diffusa nelle pipeline grafiche, nei pesi delle reti neurali e nel firmware embedded, dove la larghezza di banda della memoria e la velocità di elaborazione sono più critiche della precisione aritmetica.

Interpretare l'output esadecimale

Il campo esadecimale rappresenta in forma compatta l'intero pattern di bit del numero. Ogni cifra esadecimale corrisponde a quattro bit, quindi un valore a precisione singola occupa otto cifre e uno a doppia precisione ne occupa sedici. Gli ingegneri utilizzano la notazione esadecimale per confrontare valori in virgola mobile a livello di bit, riconoscere pattern speciali come infinito o NaN, e verificare che la serializzazione preservi il pattern esatto su piattaforme diverse.

Ad esempio, la costante π memorizzata come float a precisione singola è 0x40490FDB, mentre a doppia precisione è 0x400921FB54442D18. Confrontando i due valori si vede direttamente nell'esadecimale come la doppia precisione contenga molte più cifre della mantissa. Per esplorare l'aritmetica in base 2 e in base 16, si veda il Convertitore di base numerica.