債券殖利率計算機

最後更新：2026-05-19

什麼是債券殖利率

債券殖利率是衡量債券投資報酬的核心指標，分為當期殖利率與到期殖利率（Yield to Maturity，YTM）兩種。債券在次級市場的交易價格隨市場利率每日波動，鮮少恰等於票面金額；到期殖利率即以特定買入價格持有至到期所對應的年化總報酬率，將票息收入與買入價格和面值之間的資本損益一併納入計算。

三種殖利率的定義與差異

指標	計算方式	衡量內容
票息率	年票息 ÷ 面值	發行時承諾的固定利率
當期殖利率	年票息 ÷ 市場現價	以今日價格買入，每年可獲得的利息收益率
到期殖利率	使現金流現值等於現價的折現率	持有至到期的年化總報酬率

票息率為發行條件，存續期間固定不變。當期殖利率與到期殖利率則隨市場價格每日更新。三者之間的差距，正好反映了市場對該債券的定價。

當期殖利率

當期殖利率（CY）的計算最為直觀：

$$\text{CY} = \frac{\text{年票息}}{\text{市場現價}}$$

以面值 100 萬元、票息率 3%（年票息 3 萬元）的債券為例，若市場現價為 95 萬元，則當期殖利率為 3 萬 ÷ 95 萬 ≈ 3.16%。此指標反映「每投入一元今日可獲得多少利息收入」，但並未計入到期時面值與購入價格之間的資本損益，因此並非完整的報酬衡量。

到期殖利率

到期殖利率（YTM）同時涵蓋票息收入與資本損益，是固定收益分析的標準指標。其定義為滿足以下債券定價方程式的折現率 $r$：

$$P = \sum_{t=1}^{N} \frac{C/m}{(1 + r/m)^{t}} + \frac{F}{(1 + r/m)^{N}}$$

其中 $P$ 為市場現價、$F$ 為面值、$C$ 為年票息、$m$ 為每年付息次數、$N = T \times m$ 為總期數。此方程式對 $r$ 無代數解，需以數值方法求解。

教科書近似公式

為避免迭代計算，實務上常用以下閉合式作快速估算：

$$\text{YTM}_{\text{approx}} = \frac{C + (F - P)/T}{(F + P)/2}$$

分母 $(F + P)/2$ 為面值與現價的平均，代表投資人在存續期間平均投入的資本。此公式在一般條件下誤差約 ±0.1–0.5 個百分點，適合心算或初步比較。

精確解（牛頓-拉弗森法）

本計算機亦提供精確 YTM。以近似值為初始猜測，執行一次牛頓-拉弗森迭代：

$$r_1 = r_0 - \frac{f(r_0)}{f'(r_0)}$$

其中 $f(r)$ 為債券定價誤差，$f'(r)$ 為債券價格對期間利率的導數。從品質良好的初始值出發，一次迭代即可達到約八位小數的精確度，足以涵蓋一般固定收益分析所需的範圍。

計算範例

情境： 面值 100 萬元、市場現價 95 萬元、票息率 3%、剩餘年限 10 年、半年付息一次。

第一步 — 年票息： $C = 100\text{ 萬} \times 3\% = 3\text{ 萬元}$

第二步 — 當期殖利率： $\text{CY} = \frac{3\text{ 萬}}{95\text{ 萬}} \approx 3.16\%$

第三步 — YTM 近似值： $\text{YTM}_{\text{approx}} = \frac{3 + (100 - 95)/10}{(100 + 95)/2} = \frac{3.5}{97.5} \approx 3.59\%$

第四步 — 精確 YTM（牛頓-拉弗森）： 約 3.60%，即使 20 期半年各 1.5 萬元票息加上到期 100 萬元本金的現值之和恰等於 95 萬元的折現率。

YTM（3.60%）高於票息率（3%），原因是投資人以折價買入，到期可額外收回 5 萬元資本利得。

價格與殖利率的反向關係

債券票息金額固定不變，但市場利率持續波動，兩者之間的落差由債券價格調節。當市場利率上升，新發行債券提供更高票息，現有較低票息的債券吸引力下降，價格因此走低，直到其 YTM 回升至與市場利率相當。市場利率下降時，機制相反：高票息舊債券需求增加，價格上漲，YTM 隨之壓縮。

這種反向關係是所有固定收益商品的基本特性，也是升息周期中債券基金淨值下跌的根本原因。

平價、折價與溢價債券

情境	價格與面值的關係	YTM 與票息率的關係
平價債券	P = F	YTM = 票息率
折價債券	P < F	YTM > 票息率
溢價債券	P > F	YTM < 票息率

以折價買入，到期可獲得資本利得，故 YTM 高於票息率；以溢價買入，到期溢價歸零形成資本損失，故 YTM 低於票息率。此關係在票息與 YTM 複利頻率相同時為精確等式，一般情況下亦近似成立。

零息債券

零息債券（零票息債）不定期發放票息，投資人的全部報酬來自低於面值的買入價格與到期收回面值之間的差額。定價方程式簡化為：

$$P = \frac{F}{(1 + r/m)^{N}} \implies \frac{r}{m} = \left(\frac{F}{P}\right)^{1/N} - 1$$

零息債券的存續期間等於到期年限（最長），因此利率敏感度最高。市場利率每上升 1 個百分點，長期零息債券的跌幅遠大於同年限附息債券。

假設條件與適用限制

到期殖利率建立在以下假設之上，實際報酬可能與之有所出入：

1. 票息再投資利率等於 YTM。 若再投資利率走低，實際實現報酬將低於 YTM；走高則反之。
2. 持有至到期。 提前出售時，實際報酬取決於屆時的出售價格，而非面值。
3. 無違約風險。 YTM 未反映信用風險。將 YTM 與同期政府公債殖利率相減，可得信用利差。
4. 無可贖回條款。 可贖回債券可能提前還本，此時以贖回殖利率（Yield to Call，YTC）為更相關的指標。
5. 稅負與費用未計。 利息所得稅、健保補充保費及交易手續費均會影響稅後實際報酬。

現值計算機 可用於驗算單一現金流的現值； 年金提領計算機 — 退休金每期可領金額試算 則適用於定期定額現金流的評估。

常見問題（FAQ）

債券的到期殖利率（YTM）是什麼？

到期殖利率（Yield to Maturity，YTM）是投資人以市場現價購入債券並持有至到期時，所能獲得的年化總報酬率，前提是所有票息均以相同利率再投資。其定義為：使全部未來現金流（票息＋到期還本）的現值之和等於目前市場價格的折現率。YTM 是比較不同價格、票息率及到期年限債券的標準指標。

當期殖利率與到期殖利率有什麼不同？

當期殖利率（年票息 ÷ 市場價格）只衡量利息收益，忽略到期時面值與購入價格之間的資本損益。到期殖利率則同時涵蓋兩者。例如：票息率 5%、面值 10 萬元的債券以 9.5 萬元購入，當期殖利率約 5.26%，但 YTM 更高，因為到期時額外收回 5,000 元的資本利得。

為什麼利率下降，債券價格會上漲？

債券的票息金額固定不變。當市場利率上升，新發行債券提供更高票息，現有舊債券吸引力降低，價格因此下跌，直到其 YTM 與市場利率持平。反之，利率下降時，高票息舊債券需求增加，價格上漲。這種反向關係是所有固定收益商品的基本性質，也說明了升息期間債券基金淨值下跌的原因。

到期殖利率怎麼計算？

債券定價方程式無法以代數方式對 r 求解，必須以數值方法處理。本計算機採用兩步驟：先以近似公式求初始值，再以此為起點執行一次牛頓-拉弗森迭代精化。從良好的初始值出發，一次迭代即可達到約 8 位小數的精確度，足以涵蓋一般固定收益分析所需的範圍。