Zuletzt aktualisiert: 2026-06-29

Gleitkomma-Genauigkeit

Computer speichern reelle Zahlen in einer endlichen Anzahl von Bits, sodass die meisten Werte nur näherungsweise gehalten werden. Dieser Rechner gibt die Genauigkeit der binären IEEE-754-Formate — halb, einfach, doppelt und vierfach — an, indem er die Maschinengenauigkeit, die Anzahl der zuverlässigen Dezimalstellen und den Abstand zwischen darstellbaren Zahlen (die ULP) bei einem von Ihnen gewählten Wert berechnet. Zusammen erklären sie, warum Gleitkommaarithmetik präzise, aber nicht exakt ist.

Wie eine Gleitkommazahl eine Zahl speichert

Eine IEEE-754-Zahl wird als Vorzeichen, Mantisse (die signifikanten Ziffern) und ein Exponent geschrieben, der sie um eine Zweierpotenz skaliert — ähnlich der wissenschaftlichen Schreibweise zur Basis 2. Jedes Format legt fest, wie viele Bits die Mantisse erhält: halbe Genauigkeit hat 11 Mantissenbits, einfache 24, doppelte 53 und vierfache 113 (jede Zahl schließt ein implizites führendes Bit ein). Je mehr Mantissenbits, desto feiner die Auflösung.

Maschinengenauigkeit

Das sauberste Maß für die Auflösung ist die Maschinengenauigkeit, der Abstand zwischen 1,0 und der nächsten darstellbaren Zahl darüber:

$\varepsilon = 2^{-(p-1)}$

wobei $p$ die Anzahl der Mantissenbits ist. Für doppelte Genauigkeit gilt $\varepsilon = 2^{-52} \approx 2.22 \times 10^{-16}$. Dies ist eine relative Schranke: Jede reelle Zahl wird mit einem relativen Fehler von höchstens $\varepsilon / 2$ gespeichert. Die zuverlässige Anzahl signifikanter Dezimalstellen folgt unmittelbar als $(p-1)\log_{10} 2$ — etwa 15,7 für doppelte Genauigkeit.

ULP: ein Abstand, der mit der Größenordnung wächst

Die Maschinengenauigkeit beschreibt den Abstand nahe 1,0, doch Gleitkommazahlen sind nicht gleichmäßig verteilt. Der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden darstellbaren Werten, die Einheit an letzter Stelle (ULP), skaliert mit der Größenordnung:

$\text{ULP}(x) = 2^{\lfloor \log_2 |x| \rfloor - (p-1)}$

Nahe 1 ist der Abstand die Maschinengenauigkeit; nahe 1.000 ist er etwa tausendmal größer. Deshalb behalten Gleitkommazahlen eine konstante relative Genauigkeit, verlieren aber mit wachsenden Zahlen an absoluter Genauigkeit.

Rechenbeispiel

Nehmen Sie doppelte Genauigkeit und den Wert 1000. Der Exponent ist $\lfloor \log_2 1000 \rfloor = 9$, also:

Der größte Rundungsfehler nahe 1000 ist die Hälfte davon, etwa $5.7 \times 10^{-14}$. Eine doppelt genaue Zahl kann also 1000 von 1000,0000000000001 unterscheiden, aber nicht von einem Wert, der sich in der sechzehnten signifikanten Stelle unterscheidet.

Warum 0,1 nicht exakt ist

Binäre Gleitkommazahlen können nur Summen von Zweierpotenzen darstellen, und 0,1 hat keine endliche Binärentwicklung — ebenso wie ein Drittel im Dezimalsystem keine hat. Sie wird daher auf den nächsten darstellbaren Wert gerundet, weshalb 0.1 + 0.2 in den meisten Sprachen nicht exakt 0.3 ergibt. Die Abweichung liegt in der Größenordnung der Maschinengenauigkeit und ist meist harmlos, summiert sich aber über lange Berechnungen und ist der Grund, warum Geld oft als ganze Zahl oder in einem Dezimaltyp statt als Gleitkommazahl gespeichert wird. Wie ganze Zahlen selbst im Binärsystem codiert werden, zeigt der Zweierkomplement-Rechner.