Zuletzt aktualisiert: 2026-06-29

M/M/1-Warteschlange

Die M/M/1-Warteschlange ist das grundlegende Modell der Warteschlangentheorie: ein einzelner Server, der zufällig eintreffende Anfragen mit zufälligen Bedienzeiten bearbeitet. Aus nur zwei Zahlen — wie schnell Anfragen ankommen und wie schnell der Server sie verarbeiten kann — sagt es die mittlere Wartezeit, die mittlere Antwortzeit und das Anwachsen der Warteschlange voraus. Der Rechner liefert all dies zusammen mit der Auslastung des Servers.

Was der Name bedeutet

Die Notation folgt der Kendall-Klassifikation. Das erste M besagt, dass die Ankünfte markovsch sind — sie folgen einem Poisson-Prozess, das heißt, jede Ankunft ist unabhängig und die Anzahl in einem beliebigen Intervall ist zufällig. Das zweite M besagt, dass die Bedienzeiten exponentialverteilt sind. Die 1 ist die Anzahl der Server. M/M/1 bedeutet also „zufällige Ankünfte, zufällige Bedienung, ein Server, unbegrenzte Warteschlange, Bedienung in Reihenfolge".

Die Auslastung bestimmt alles

Die wichtigste Größe ist die Auslastung, der Zeitanteil, in dem der Server beschäftigt ist:

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

wobei $\lambda$ die Ankunftsrate und $\mu$ die Bedienrate ist, beide in derselben Zeiteinheit. Das System ist nur stabil, wenn $\rho < 1$; treffen Anfragen mindestens so schnell ein, wie sie bedient werden können, wächst der Rückstau unbegrenzt. Aus $\rho$ ergeben sich die stationären Mittelwerte:

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Dabei ist $L$ die mittlere Anzahl im System, $L_q$ die mittlere Anzahl wartend, $W$ die mittlere Antwortzeit und $W_q$ die mittlere Wartezeit vor der Bedienung.

Rechenbeispiel

Ein Server verarbeitet 10 Anfragen pro Sekunde ($\mu = 10$) und erhält 8 pro Sekunde ($\lambda = 8$). Die Auslastung ist $\rho = 0.8$, und:

Eine Anfrage verbringt also im Mittel eine halbe Sekunde im System, und zu jedem Zeitpunkt sind vier Anfragen vorhanden. Obwohl der Server nur zu 80 % ausgelastet ist, beträgt die Antwortzeit das Fünffache der reinen Bedienzeit von 0,1 s — der größte Teil davon ist Warten.

Die Gefahr hoher Auslastung

Da $(1 - \rho)$ im Nenner jeder Formel steht, steigen die Kennzahlen stark an, sobald sich der Server der Sättigung nähert. Bei 90 % Auslastung beträgt die mittlere Anzahl im System 9, bei 95 % sind es 19, bei 99 % sind es 99. Diese nichtlineare Explosion ist der Grund, warum Kapazitätsplaner Reserven lassen, statt Ressourcen nahe 100 % zu betreiben. Derselbe Mittelungsgedanke liegt dem Little'sches-Gesetz-Rechner zugrunde, das Nebenläufigkeit, Durchsatz und Latenz verknüpft, ohne eine bestimmte Verteilung anzunehmen.

Das M/M/1-Modell setzt exponentielle Bedienzeiten und unbegrenzten Warteschlangenplatz voraus, was reale Systeme selten genau erfüllen. Behandeln Sie seine Vorhersagen als konservativen Anhaltspunkt: Sind die Bedienzeiten regelmäßiger als exponentiell, fallen die tatsächlichen Wartezeiten meist kürzer aus.